Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(b) lim x 0 sin (x^2)+cos (x^3)-x^2-1x^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando desenvolvimento em séries de Maclaurin. Basicamente, a gente precisa entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de zero usando suas expansões em séries. Para isso, vamos precisar expandir sin(x^2), cos(x^3), e juntar tudo para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das expansões em série de Maclaurin para sin(z) e cos(z):
sin(z) = z - z^33! + z^55! - dots
cos(z) = 1 - z^22! + z^44! - dots
Aqui, substituímos z por x^2 e x^3 respectivamente para encontrar sin(x^2) e cos(x^3).

Passo 3

Vamos expandir sin(x^2):
sin(x^2) = x^2 - (x^2)^33! + (x^2)^55! - dots = x^2 - x^66 + x^10120 - dots
E agora, expandir cos(x^3):
cos(x^3) = 1 - (x^3)^22! + (x^3)^44! - dots = 1 - x^62 + x^1224 - dots

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão do numerador usando essas expansões:
sin(x^2) + cos(x^3) - x^2 - 1 = (x^2 - x^66 + dots) + (1 - x^62 + dots) - x^2 - 1
Simplificando os termos:
x^2 - x^66 + 1 - x^62 - x^2 - 1 = -x^66 - x^62 = -(16 + 12)x^6 = -23x^6

Passo 5

Agora, colocamos isso de volta na expressão do limite:
limx 0 -23x^6x^6 = limx 0 -23 = -23

Resposta

O limite é -dfrac23.

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