Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando desenvolvimento em séries de Maclaurin. Basicamente, a gente precisa entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de zero usando suas expansões em séries. Para isso, vamos precisar expandir
,
, e juntar tudo para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das expansões em série de Maclaurin para
e
:
Aqui, substituímos
por
e
respectivamente para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos expandir
:
E agora, expandir
:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão do numerador usando essas expansões:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, colocamos isso de volta na expressão do limite:
Resposta
O limite é
.