Desenvolva a função
em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função
em uma série de MacLaurin. Isso significa que vamos expandir essa função em uma soma infinita de termos que envolvem potências de
. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula da série de MacLaurin para a função hiperbólica cosseno (
) e como manipular séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de MacLaurin para a função
. A série de MacLaurin para
é dada por:
Isso significa que
pode ser escrito como a soma infinita de termos que envolvem potências pares de
divididas pelo fatorial desses mesmos índices.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, então vamos substituir
por
na série de MacLaurin que acabamos de lembrar. Ficamos com:
Aqui, estamos basicamente dizendo que em vez de
, temos
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Calculando
, temos:
Portanto, a série fica:
Esse é o termo geral da expansão em série de MacLaurin para
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de MacLaurin para
converge para todos os valores reais de
. Como fizemos uma substituição
, isso não restringe o intervalo de convergência, pois
também está definido para todos os números reais.
Resposta
A série de MacLaurin para
é
e o intervalo de convergência é
(todos os números reais).
Exercícios relacionados
Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de
para provar a seguinte expressão para
como soma de uma série numérica:
.
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g)
(g)
Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.
A CAT scan produces equally spaced cross-sectional views of a human organ that provide information about the organ otherwise obtained only by surgery. Suppose that a CAT scan of a human liver shows cross-sections spaced 1.5 cm apart. The liver is 15 cm long and the cross-sectional areas, in square centimeters, are
, and 0 . Use the Midpoint Rule to estimate the volume of the liver.