Desenvolva a função
em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função
em uma série de MacLaurin. Isso significa que vamos expandir essa função em uma soma infinita de termos que envolvem potências de
. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula da série de MacLaurin para a função hiperbólica cosseno (
) e como manipular séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de MacLaurin para a função
. A série de MacLaurin para
é dada por:
Isso significa que
pode ser escrito como a soma infinita de termos que envolvem potências pares de
divididas pelo fatorial desses mesmos índices.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, então vamos substituir
por
na série de MacLaurin que acabamos de lembrar. Ficamos com:
Aqui, estamos basicamente dizendo que em vez de
, temos
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Calculando
, temos:
Portanto, a série fica:
Esse é o termo geral da expansão em série de MacLaurin para
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de MacLaurin para
converge para todos os valores reais de
. Como fizemos uma substituição
, isso não restringe o intervalo de convergência, pois
também está definido para todos os números reais.
Resposta
A série de MacLaurin para
é
e o intervalo de convergência é
(todos os números reais).