Desenvolva a função f(x) = cosh(x^3) em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função em uma série de MacLaurin. Isso significa que vamos expandir essa função em uma soma infinita de termos que envolvem potências de . Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula da série de MacLaurin para a função hiperbólica cosseno ( ) e como manipular séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de MacLaurin para a função . A série de MacLaurin para é dada por:
Isso significa que pode ser escrito como a soma infinita de termos que envolvem potências pares de divididas pelo fatorial desses mesmos índices.

Passo 3

No nosso caso, a função é , então vamos substituir por na série de MacLaurin que acabamos de lembrar. Ficamos com:
Aqui, estamos basicamente dizendo que em vez de , temos .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Calculando , temos:
Portanto, a série fica:
Esse é o termo geral da expansão em série de MacLaurin para .

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de MacLaurin para converge para todos os valores reais de . Como fizemos uma substituição , isso não restringe o intervalo de convergência, pois também está definido para todos os números reais.

Resposta

A série de MacLaurin para é
e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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