Um catalisador cilíndrico maciço gera calor a uma taxa que depende da posição radial por: , onde é a taxa volumétrica de geração de calor, A é constante e é a variável posição radial. Sabendo-se que a temperatura na superfície do catalisador deve ser mantida constante ( ), obter a expressão para a distribuição de temperatura dentro do catalisador, considerando o comprimento muito maior que o diâmetro, simetria angular e estado estacionário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um catalisador cilíndrico que gera calor de acordo com a posição radial, seguindo a fórmula . Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro desse cilindro, mantendo a temperatura constante na superfície. Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerando que o sistema está em estado estacionário e tem simetria radial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação de estado estacionário e simetria radial (sem variação angular ou ao longo do comprimento). A equação geral é:
Aqui, é a temperatura, é a posição radial, é a taxa de geração de calor volumétrica, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Substituímos a expressão dada para na equação:
Agora, multiplicamos toda a equação por para simplificar:

Passo 4

Vamos integrar a equação com respeito a :
Onde é uma constante de integração. Agora, dividimos por para isolar :

Passo 5

Integramos novamente para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração. Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar e .

Passo 6

A condição de contorno diz que na superfície do catalisador ( ), a temperatura é constante . Além disso, para evitar que a temperatura fique infinita no centro ( ), a constante deve ser zero. Assim, simplificamos a expressão:
Resolvendo para :

Passo 7

Substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A distribuição de temperatura dentro do catalisador é dada por:

Exercícios relacionados

Uma haste longa passa através de uma abertura em um forno cuja temperatura do ambiente interno é . Essa haste é pressionada fortemente contra uma base situada muito próxima à entrada da abertura do forno. Termopares são colocados nas posições 25 e medidos a partir da superfície da base e as leituras são de 325 e . Nestas condições, qual é a temperatura da base?
Aletas retas retangulares de de espessura, de comprimento e de largura são soldadas a uma placa plana de e de espessura. Tanto as aletas quanto a placa são feitas de aço inox . A base da placa é mantida à temperatura uniforme de , enquanto que a superfície aletada está em contato com ar a . O espaço entre as aletas é de e o coeficiente médio de troca de calor por convecção nas superfícies é estimado em . Determine a taxa de troca de calor através das aletas.
Por um fio de aço inox ( ) de de comprimento e de diâmetro passa uma corrente elétrica de . A resistência elétrica do fio é 0,099 ohms. O fio está imerso num fluido a com coeficiente convectivo igual a . Calcule a temperatura do centro do fio.
Determinar a relação que deve prevalecer entre os diâmetros do tubo e do reservatório para que a altura de coluna de líquido manométrico indique uma diferença de pressão com erro máximo de .