Um catalisador cilíndrico maciço gera calor a uma taxa que depende da posição radial por: Qg=A r^2, onde Qg é a taxa volumétrica de geração de calor, A é constante e r é a variável posição radial. Sabendo-se que a temperatura na superfície do catalisador deve ser mantida constante ( T=Tp ), obter a expressão para a distribuição de temperatura dentro do catalisador, considerando o comprimento muito maior que o diâmetro, simetria angular e estado estacionário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um catalisador cilíndrico que gera calor de acordo com a posição radial, seguindo a fórmula . Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro desse cilindro, mantendo a temperatura constante na superfície. Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerando que o sistema está em estado estacionário e tem simetria radial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação de estado estacionário e simetria radial (sem variação angular ou ao longo do comprimento). A equação geral é:
1r ddr ( r dTdr ) + Qgk = 0
Aqui, é a temperatura, é a posição radial, é a taxa de geração de calor volumétrica, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Substituímos a expressão dada para 1r ddr ( r dTdr ) + A r^2k = 0 na equação:
ddr ( r dTdr ) + A r^3k = 0
Agora, multiplicamos toda a equação por para simplificar:

Passo 4

Vamos integrar a equação com respeito a r dTdr = -A4k r^4 + C1 :
dTdr = -A4k r^3 + C1r
Onde é uma constante de integração. Agora, dividimos por para isolar :

Passo 5

Integramos novamente para encontrar T(r) = -A16k r^4 + C1 ln r + C2 :
Aqui, é outra constante de integração. Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar e .

Passo 6

A condição de contorno diz que na superfície do catalisador ( T(R) = Tp = -A16k R^4 + C2 ), a temperatura é constante C2 = Tp + A16k R^4 . Além disso, para evitar que a temperatura fique infinita no centro ( ), a constante deve ser zero. Assim, simplificamos a expressão:
Resolvendo para :

Passo 7

Substituímos T(r) = -A16k r^4 + Tp + A16k R^4 e T(r) = Tp + A16k ( R^4 - r^4 ) na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A distribuição de temperatura dentro do catalisador é dada por:
T(r) = Tp + A16k ( R^4 - r^4 )

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