Um catalisador cilíndrico maciço gera calor a uma taxa que depende da posição radial por:
, onde
é a taxa volumétrica de geração de calor, A é constante e
é a variável posição radial. Sabendo-se que a temperatura na superfície do catalisador deve ser mantida constante (
), obter a expressão para a distribuição de temperatura dentro do catalisador, considerando o comprimento muito maior que o diâmetro, simetria angular e estado estacionário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um catalisador cilíndrico que gera calor de acordo com a posição radial, seguindo a fórmula
. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro desse cilindro, mantendo a temperatura constante na superfície. Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerando que o sistema está em estado estacionário e tem simetria radial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação de estado estacionário e simetria radial (sem variação angular ou ao longo do comprimento). A equação geral é:
Aqui,
é a temperatura,
é a posição radial,
é a taxa de geração de calor volumétrica, e
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Substituímos a expressão dada para
na equação:
Agora, multiplicamos toda a equação por
para simplificar:
Passo 4
Vamos integrar a equação com respeito a
:
Onde
é uma constante de integração. Agora, dividimos por
para isolar
:
Passo 5
Integramos novamente para encontrar
:
Aqui,
é outra constante de integração. Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar
e
.
Passo 6
A condição de contorno diz que na superfície do catalisador (
), a temperatura é constante
. Além disso, para evitar que a temperatura fique infinita no centro (
), a constante
deve ser zero. Assim, simplificamos a expressão:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A distribuição de temperatura dentro do catalisador é dada por: