Por um fio de aço inox (
) de
de comprimento e
de diâmetro passa uma corrente elétrica de
. A resistência elétrica do fio é 0,099 ohms. O fio está imerso num fluido a
com coeficiente convectivo igual a
. Calcule a temperatura do centro do fio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de aço inox com certas propriedades elétricas e térmicas, passando uma corrente elétrica. Esse fio está imerso em um fluido quente. A gente precisa descobrir qual é a temperatura no centro do fio. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução de calor em materiais sólidos e transferência de calor por convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que está sendo gerada no fio devido à passagem da corrente elétrica. Isso acontece por causa da resistência elétrica do fio. A fórmula para a potência dissipada por efeito Joule é:
Onde:
-
é a potência (em watts), -
é a corrente elétrica (em amperes), -
é a resistência elétrica (em ohms).
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
Então, o fio está gerando 3960 watts de potência devido à corrente elétrica.
Passo 4
Agora, precisamos entender como esse calor se distribui no fio. O fio está perdendo calor para o ambiente através da convecção. A transferência de calor por convecção pode ser descrita pela fórmula:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor (em watts), -
é o coeficiente de convecção (em ), -
é a área da superfície do fio (em ), -
é a diferença de temperatura entre a superfície do fio e o fluido (em Kelvin).
Como estamos no estado estacionário (temperatura constante no tempo), o calor gerado no fio deve ser igual ao calor perdido por convecção:
Passo 5
Vamos calcular a área da superfície do fio. O fio é cilíndrico, então a área superficial é dada por:
Onde:
-
é o diâmetro do fio (em metros), -
é o comprimento do fio (em metros).
Convertendo o diâmetro para metros:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, podemos rearranjar a equação para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Sabemos que a temperatura do fluido é
. A diferença de temperatura
é a temperatura do fio menos a temperatura do fluido:
Como a diferença de temperatura em Kelvin é a mesma que em Celsius:
Resposta
A temperatura no centro do fio é de aproximadamente
.
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, onde
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.