Por um fio de aço inox ( k=18 W / m / K ) de 1 m de comprimento e 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica de 200 A. A resistência elétrica do fio é 0,099 ohms. O fio está imerso num fluido a 110^circ C com coeficiente convectivo igual a 4 kW / m^2 / K. Calcule a temperatura do centro do fio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de aço inox com certas propriedades elétricas e térmicas, passando uma corrente elétrica. Esse fio está imerso em um fluido quente. A gente precisa descobrir qual é a temperatura no centro do fio. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução de calor em materiais sólidos e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que está sendo gerada no fio devido à passagem da corrente elétrica. Isso acontece por causa da resistência elétrica do fio. A fórmula para a potência dissipada por efeito Joule é:
P = I^2 cdot R
Onde:
  • é a potência (em watts),
  • é a corrente elétrica (em amperes),
  • é a resistência elétrica (em ohms).

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
P = (200, A)^2 cdot 0,099, Omega
P = 40000, A^2 cdot 0,099, Omega
P = 3960, W
Então, o fio está gerando 3960 watts de potência devido à corrente elétrica.

Passo 4

Agora, precisamos entender como esse calor se distribui no fio. O fio está perdendo calor para o ambiente através da convecção. A transferência de calor por convecção pode ser descrita pela fórmula:
Q = h cdot A cdot De
Onde:
  • P = Q é a taxa de transferência de calor (em watts),
  • I^2 cdot R = h cdot A cdot De é o coeficiente de convecção (em ),
  • é a área da superfície do fio (em ),
  • é a diferença de temperatura entre a superfície do fio e o fluido (em Kelvin).
Como estamos no estado estacionário (temperatura constante no tempo), o calor gerado no fio deve ser igual ao calor perdido por convecção:

Passo 5

Vamos calcular a área da superfície do fio. O fio é cilíndrico, então a área superficial é dada por:
A = pi cdot d cdot L
Onde:
  • d = 3, mm = 0,003, m é o diâmetro do fio (em metros),
  • A = pi cdot 0,003, m cdot 1, m é o comprimento do fio (em metros).
Convertendo o diâmetro para metros:
A = 0,00942, m^2
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, podemos rearranjar a equação para encontrar De:
De
Substituindo os valores:
De
De

Passo 7

Sabemos que a temperatura do fluido é De. A diferença de temperatura 105, K = Tfio - 110,^circC é a temperatura do fio menos a temperatura do fluido:
Tfio = 105,^circC + 110,^circC
Tfio = 215,^circC
Como a diferença de temperatura em Kelvin é a mesma que em Celsius:

Resposta

A temperatura no centro do fio é de aproximadamente .

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