Uma haste longa passa através de uma abertura em um forno cuja temperatura do ambiente interno é 400^circ C. Essa haste é pressionada fortemente contra uma base situada muito próxima à entrada da abertura do forno. Termopares são colocados nas posições 25 e 120 mm medidos a partir da superfície da base e as leituras são de 325 e 375^circ C. Nestas condições, qual é a temperatura da base?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma haste que passa por um forno com uma temperatura interna de . Essa haste está apertadinha contra uma base perto da entrada do forno. Colocaram dois termopares na haste: um a 25 mm da base medindo e outro a 120 mm medindo . A pergunta é: qual é a temperatura da base? Vamos usar os conceitos de condução de calor para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é condução de calor. A condução é a transferência de calor através de um material sem que o material se desloque. No nosso caso, o calor está se transferindo pela haste devido à diferença de temperatura entre o forno e a base.

Passo 3

Em regime permanente, ou seja, quando as temperaturas não estão mais mudando com o tempo, a distribuição de temperatura ao longo da haste é linear. Isso significa que a temperatura aumenta ou diminui de forma constante à medida que nos afastamos da base. Matematicamente, podemos expressar isso como:
T(x) = T0 + Tforno - T0L cdot x
Onde:
  • é a temperatura na posição da haste.
  • é a temperatura da base (o que queremos encontrar).
  • é a temperatura interna do forno ( ).
  • é o comprimento total da haste no forno.

Passo 4

Como temos duas informações de temperatura em duas posições diferentes, podemos montar um sistema de equações para resolver 325 = T0 + 400 - T0L cdot 25 375 = T0 + 400 - T0L cdot 120 .
Vamos chamar:
  • ,
  • ,
Substituindo na equação da linha reta:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos simplificar as equações. Mas percebemos que não conhecemos 375 - T0120 = 325 - T025 , o comprimento total. Porém, podemos eliminar dividindo as duas equações:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 120 para eliminar os denominadores:
375 - T0 = 12025 (325 - T0)
Simplificando 375 - T0 = 4,8 cdot (325 - T0) :

Passo 7

Distribuindo o 375 - T0 = 1560 - 4,8 T0 :
- T0 + 4,8 T0 = 1560 - 375
Agora, vamos colocar todos os termos com 3,8 T0 = 1185 de um lado e os números do outro:

Passo 8

Para encontrar T0 = 11853,8 approx 311,84^circ C , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A temperatura da base é aproximadamente .

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