Uma haste longa passa através de uma abertura em um forno cuja temperatura do ambiente interno é
. Essa haste é pressionada fortemente contra uma base situada muito próxima à entrada da abertura do forno. Termopares são colocados nas posições 25 e
medidos a partir da superfície da base e as leituras são de 325 e
. Nestas condições, qual é a temperatura da base?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma haste que passa por um forno com uma temperatura interna de
. Essa haste está apertadinha contra uma base perto da entrada do forno. Colocaram dois termopares na haste: um a 25 mm da base medindo
e outro a 120 mm medindo
. A pergunta é: qual é a temperatura da base? Vamos usar os conceitos de condução de calor para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é condução de calor. A condução é a transferência de calor através de um material sem que o material se desloque. No nosso caso, o calor está se transferindo pela haste devido à diferença de temperatura entre o forno e a base.
Passo 3
Em regime permanente, ou seja, quando as temperaturas não estão mais mudando com o tempo, a distribuição de temperatura ao longo da haste é linear. Isso significa que a temperatura aumenta ou diminui de forma constante à medida que nos afastamos da base. Matematicamente, podemos expressar isso como:
Onde:
-
é a temperatura na posição da haste. -
é a temperatura da base (o que queremos encontrar). -
é a temperatura interna do forno ( ). -
é o comprimento total da haste no forno.
Passo 4
Como temos duas informações de temperatura em duas posições diferentes, podemos montar um sistema de equações para resolver
.
Vamos chamar:
-
, -
,
Substituindo na equação da linha reta:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos simplificar as equações. Mas percebemos que não conhecemos
, o comprimento total. Porém, podemos eliminar
dividindo as duas equações:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 120 para eliminar os denominadores:
Simplificando
dá
:
Passo 7
Distribuindo o
:
Agora, vamos colocar todos os termos com
de um lado e os números do outro:
Passo 8
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A temperatura da base é aproximadamente
.