Determinar a relação que deve prevalecer entre os diâmetros do tubo e do reservatório para que a altura
de coluna de líquido manométrico
indique uma diferença de pressão com erro máximo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir qual relação deve existir entre os diâmetros do tubo e do reservatório. Isso tudo para que a altura
da coluna de líquido manométrico, com densidade relativa
, indique uma diferença de pressão com um erro máximo de 0,1%. Aqui, vamos precisar usar conceitos de hidrostática e proporcionalidade entre áreas de seção transversal. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão
exercida por uma coluna de líquido é dada por:
Onde:
-
é a densidade relativa do líquido (nesse caso, 1,5), -
é a densidade da água (aproximadamente ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura da coluna de líquido.
Queremos que o erro na indicação da diferença de pressão seja no máximo 0,1%. Isso significa que as incertezas nos diâmetros do tubo (
) e do reservatório (
) devem ser controladas de forma que o erro total não ultrapasse esse valor.
Passo 3
Sabemos que a área da seção transversal de um tubo é proporcional ao quadrado do diâmetro:
Então, a relação entre as áreas do tubo e do reservatório é:
Para minimizar o erro na medição da pressão, precisamos que a variação nas áreas (devido aos diâmetros) seja tal que o erro total seja de no máximo 0,1%. Isso implica que as incertezas relativas nos diâmetros devem ser balanceadas.
Passo 4
Considerando que o erro relativo na área é o dobro do erro relativo no diâmetro (já que
), para alcançar um erro total de 0,1%, precisamos que cada diâmetro contribua com metade desse erro.
Então, o erro relativo permitido em cada diâmetro é de 0,05%.
Passo 5
Portanto, a relação entre os diâmetros do tubo e do reservatório deve ser tal que:
Isso garante que o erro total na indicação da diferença de pressão não ultrapasse 0,1%.
Resposta
A relação entre os diâmetros do tubo (
) e do reservatório (
) deve ser tal que cada diâmetro tenha um erro relativo de no máximo 0,05%, ou seja:
Isso assegura que a altura
indique a diferença de pressão com um erro máximo de 0,1%.
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