Determinar a relação que deve prevalecer entre os diâmetros do tubo e do reservatório para que a altura de coluna de líquido manométrico indique uma diferença de pressão com erro máximo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir qual relação deve existir entre os diâmetros do tubo e do reservatório. Isso tudo para que a altura da coluna de líquido manométrico, com densidade relativa , indique uma diferença de pressão com um erro máximo de 0,1%. Aqui, vamos precisar usar conceitos de hidrostática e proporcionalidade entre áreas de seção transversal. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida por uma coluna de líquido é dada por:
Onde:
  • é a densidade relativa do líquido (nesse caso, 1,5),
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da coluna de líquido.
Queremos que o erro na indicação da diferença de pressão seja no máximo 0,1%. Isso significa que as incertezas nos diâmetros do tubo ( ) e do reservatório ( ) devem ser controladas de forma que o erro total não ultrapasse esse valor.

Passo 3

Sabemos que a área da seção transversal de um tubo é proporcional ao quadrado do diâmetro:
Então, a relação entre as áreas do tubo e do reservatório é:
Para minimizar o erro na medição da pressão, precisamos que a variação nas áreas (devido aos diâmetros) seja tal que o erro total seja de no máximo 0,1%. Isso implica que as incertezas relativas nos diâmetros devem ser balanceadas.

Passo 4

Considerando que o erro relativo na área é o dobro do erro relativo no diâmetro (já que ), para alcançar um erro total de 0,1%, precisamos que cada diâmetro contribua com metade desse erro.
Então, o erro relativo permitido em cada diâmetro é de 0,05%.

Passo 5

Portanto, a relação entre os diâmetros do tubo e do reservatório deve ser tal que:
â
Isso garante que o erro total na indicação da diferença de pressão não ultrapasse 0,1%.

Resposta

A relação entre os diâmetros do tubo ( ) e do reservatório ( ) deve ser tal que cada diâmetro tenha um erro relativo de no máximo 0,05%, ou seja:
Isso assegura que a altura indique a diferença de pressão com um erro máximo de 0,1%.

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