Catcule as funçōes derivadas parciais de primeira ordem e seus dominios.
f(x, y) = 3 x^3 y - 2 y^4, D = R^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função definida em todo o plano . O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de primeira ordem dessa função, ou seja, as derivadas em relação a e a . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é notada por . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. Então, derivamos cada termo da função com relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que é tratado como constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Desta vez, tratamos como uma constante. Derivamos cada termo da função com relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
E o domínio dessas derivadas é .

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