Determine a equação do plano tangente ao gráfico da funçäo f(x, y) no ponto dado.
f(x, y) = ln(2x + y), P(-1, 3, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto dado . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano tangente em relação aos eixos e .

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se o ponto está realmente no gráfico da função. Vamos verificar:
Como , o ponto está no gráfico da função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano tangente nas direções de e .
A função é:
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde é o ponto de tangência. No nosso caso, , e .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é:

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