Determine a equação do plano tangente ao gráfico da funçäo
no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto dado
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano tangente em relação aos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se o ponto
está realmente no gráfico da função. Vamos verificar:
Como
, o ponto
está no gráfico da função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano tangente nas direções de
e
.
A função é:
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde
é o ponto de tangência. No nosso caso,
,
e
.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Catcule as funçōes derivadas parciais de primeira ordem e seus dominios.
Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da fórmula.
, em que
Use a regra da cadeia para calcular
e
:
Catcule as funçōes derivadas parciais de primeira ordem e seus dominios.
.