Dada a equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t+betak(u-u0)
onde k, beta e u0 são constantes e as condições de fronteira
u(x, 0)=f(x), u(0, t)=u1, u(l, t)=u2
onde u1 e u2 são constantes, mostrar, por meio da substituição
u(x, t)=u0+v(x, t) e^-beta t

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial parcial que relaciona as derivadas de em relação a e . As condições de fronteira nos dizem como se comporta em certos pontos e tempos. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais parciais, e para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição inteligente usando a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida na equação original. Isso significa que onde vemos partial^2 (u0 + v e^-beta t)partial x^2 = 1k partial (u0 + v e^-beta t)partial t + betak( (u0 + v e^-beta t) - u0 ) , vamos colocar . Então, temos:

Passo 3

Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, a segunda derivada de partial^2 v e^-beta tpartial x^2 = 1k ( partial u0partial t + partial (v e^-beta t)partial t ) + betak ( u0 + v e^-beta t - u0 ) em relação a é zero, porque é uma constante. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas. A derivada de partial (v e^-beta t)partial t = partial vpartial t e^-beta t - beta v e^-beta t em relação ao tempo é zero. Para a derivada de partial^2 v e^-beta tpartial x^2 = 1k ( partial vpartial t e^-beta t - beta v e^-beta t ) + betak v e^-beta t em relação ao tempo, usamos a regra do produto:
Substituindo de volta:

Passo 5

Perceba que os termos partial^2 v e^-beta tpartial x^2 = 1k partial vpartial t e^-beta t e se cancelam. Então, a equação fica:

Passo 6

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por partial^2 vpartial x^2 = 1k partial vpartial t :

Resposta

Após a substituição e simplificação, a equação original se transforma na equação:
partial^2 vpartial x^2 = 1k partial vpartial t

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