Use a regra da cadeia para calcular partial z / partial s e partial z / partial t :
z=x^2+x y+y^2, x=s+t, y=s t, em s=1, t=1

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função onde e . A missão aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Vamos precisar entender como varia quando mudamos e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x + y em relação a partial zpartial y = x + 2y e . Isso é essencial para aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x = s + t Rightarrow partial xpartial s = 1 e partial xpartial t = 1 e y = st Rightarrow partial ypartial s = t e partial ypartial t = s em relação a e .
Sabemos que:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial s = (2x + y) cdot 1 + (x + 2y) cdot t .
Para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial t = (2x + y) cdot 1 + (x + 2y) cdot s
Substituindo:
Para :
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos substituir x = 1 + 1 = 2 e y = 1 times 1 = 1 para encontrar os valores numéricos.
Primeiro, calculamos partial zpartial s = (2 times 2 + 1) times 1 + (2 + 2 times 1) times 1 = (4 + 1) + (2 + 2) = 5 + 4 = 9 e partial zpartial t = (2 times 2 + 1) times 1 + (2 + 2 times 1) times 1 = (4 + 1) + (2 + 2) = 5 + 4 = 9 :
Agora, substituímos esses valores nas expressões das derivadas:
Para :
Para :

Resposta

partial zpartial s = 9 e partial zpartial t = 9

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z = x^2 y + x y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^3, em t = 1