Use a regra da cadeia para calcular d z / d t, no ponto dado:
z = x^2 y + x y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^3, em t = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. A gente tem as funções:
Aqui, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a . A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas expressões mostram como muda quando ou mudam, mantendo a outra variável constante.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas mostram como e mudam conforme varia.

Passo 5

Vamos avaliar todas essas derivadas no ponto :
Primeiro, calculamos e em :
Em seguida, as derivadas de e :
Finalmente, as derivadas parciais de :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

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