catcule os limites:
lim x +infty raiz2 x^2+x+1raiz3 x^2+4

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o limite quando vai para mais infinito da expressão . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo funções racionais e radicais. Vamos precisar entender como os termos de maior grau influenciam o comportamento da função quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que dentro de cada raiz quadrada, o termo que mais cresce conforme aumenta é o . Então, em , o domina, e em , o domina. Isso nos dá uma ideia de que a raiz vai se comportar aproximadamente como a raiz do termo dominante.

Passo 3

Vamos fatorar raiz2x^2 + x + 1 = raizx^2(2 + 1x + 1x^2) = |x| raiz2 + 1x + 1x^2 de dentro de cada raiz para simplificar a expressão. Para a parte de cima da fração:
Como está indo para mais infinito, é positivo, então .

Passo 4

Fazendo o mesmo para a parte de baixo:
raiz3x^2 + 4 = raizx^2(3 + 4x^2) = |x| raiz3 + 4x^2 = x raiz3 + 4x^2
Agora, substituímos de volta na expressão original:
raiz2x^2 + x + 1raiz3x^2 + 4 = x raiz2 + 1x + 1x^2x raiz3 + 4x^2 = raiz2 + 1x + 1x^2raiz3 + 4x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando limx to +infty raiz2 + 0 + 0raiz3 + 0 = raiz2raiz3 = raiz23 = raiz63 vai para mais infinito. Os termos como e vão se aproximar de zero:

Resposta

O limite é .

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