Se e , determine a primeira e a segunda coluna de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A e o produto dessa matriz com outra matriz B, que é a matriz A vezes B. O objetivo aqui é descobrir quais são a primeira e a segunda coluna da matriz B. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente a noção de matriz inversa. Vamos dar um gás!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos uma equação do tipo A × B = AB, e queremos encontrar B, a gente pode multiplicar ambos os lados pela inversa de A. Isso funciona porque a matriz inversa de A multiplicada por A dá a identidade, simplificando a equação. Ou seja:
Isso simplifica para:
Então, nossa tarefa é encontrar a matriz inversa de A.
Passo 3
Vamos calcular a inversa da matriz A. A matriz dada é:
Primeiro, calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2x2, o determinante é:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível. A fórmula da inversa de uma matriz 2x2 é:
Onde a, b, c, d são os elementos da matriz A:
Então:
Passo 4
Agora que temos a inversa de A, vamos utilizá-la para encontrar a matriz B. Sabemos que:
Como A × B é dada, podemos multiplicar a inversa de A por A × B para obter B. Vamos chamar A × B de C para facilitar: