Se A=[cc1 & -2 -2 & 5] e A B=[ccc-1 & 2 & -1 6 & -9 & 3], determine a primeira e a segunda coluna de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A e o produto dessa matriz com outra matriz B, que é a matriz A vezes B. O objetivo aqui é descobrir quais são a primeira e a segunda coluna da matriz B. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente a noção de matriz inversa. Vamos dar um gás!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos uma equação do tipo A × B = AB, e queremos encontrar B, a gente pode multiplicar ambos os lados pela inversa de A. Isso funciona porque a matriz inversa de A multiplicada por A dá a identidade, simplificando a equação. Ou seja:
A^-1 times A times B = A^-1 times AB
Isso simplifica para:
B = A^-1 times AB
Então, nossa tarefa é encontrar a matriz inversa de A.

Passo 3

Vamos calcular a inversa da matriz A. A matriz dada é:
A = 1 & -2 -2 & 5
Primeiro, calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2x2, o determinante é:
det(A) = (1)(5) - (-2)(-2) = 5 - 4 = 1
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível. A fórmula da inversa de uma matriz 2x2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde a, b, c, d são os elementos da matriz A:
A = a & b c & d = 1 & -2 -2 & 5
Então:
A^-1 = 11 5 & 2 2 & 1 = 5 & 2 2 & 1

Passo 4

Agora que temos a inversa de A, vamos utilizá-la para encontrar a matriz B. Sabemos que:
B = A^-1 times AB
Como A × B é dada, podemos multiplicar a inversa de A por A × B para obter B. Vamos chamar A × B de C para facilitar:
C = AB = -1 & 2 & -1 6 & -9 & 3
Então:
B = A^-1 times C = 5 & 2 2 & 1 times -1 & 2 & -1 6 & -9 & 3

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
Para a primeira coluna de B:
5 & 2 2 & 1 times -1 6 = (5)(-1) + (2)(6) (2)(-1) + (1)(6) = -5 + 12 -2 + 6 = 7 4
Para a segunda coluna de B:
5 & 2 2 & 1 times 2 -9 = (5)(2) + (2)(-9) (2)(2) + (1)(-9) = 10 - 18 4 - 9 = -8 -5

Resposta

A primeira coluna de B é:
7 4
E a segunda coluna de B é:
-8 -5

Exercícios relacionados