Considere as matrizes e . Sendo um número real positivo, a soma de todos os valores de para os quais é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, que é 2x3 e que é 3x2. A questão quer saber para quais valores de a multiplicação dessas matrizes é igual à sua transposta . Isso significa que a matriz resultante tem que ser simétrica. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender o que significa uma matriz ser simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se é 2x3 e é 3x2, então vai ser uma matriz 2x2. Cada elemento de é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e colunas de .

Passo 3

Vamos calcular . Vamos chamar a matriz resultante de , onde:
Agora, calculamos cada elemento :

Passo 4

Vamos simplificar cada elemento usando propriedades dos logaritmos. Lembre-se que e .
Então:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, queremos que seja igual à sua transposta . A transposta de é:
Para , os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais. Ou seja:

Passo 6

Vamos resolver a equação:
Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 2:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática em :
Onde . Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:

Passo 8

Voltando para :
  1. Se :
  1. Se :

Passo 9

A questão pede a soma de todos os valores de que satisfazem a condição:
Somando esses valores:

Resposta

A soma de todos os valores de é . A alternativa correta é a letra b) .

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Dados os vetores e , calcular:
b)
Qual é o valor do elemento localizado na segunda linha e terceira coluna da matriz definida por ?
Se e , determine a primeira e a segunda coluna de .
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?