Considere as matrizes A=[clllog 13 x & log 13 x^2 & 1 0 & -log 3 x & 1] e B=[cc0 & log 13 x^2 1 & 0 -3 log 13 x & -4]. Sendo x um número real positivo, a soma de todos os valores de x para os quais A B=(A B)^T é igual a:
a) 253
b) 283
c) 323
d) 272
e) 252

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, que é 2x3 e que é 3x2. A questão quer saber para quais valores de a multiplicação dessas matrizes é igual à sua transposta . Isso significa que a matriz resultante tem que ser simétrica. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender o que significa uma matriz ser simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se é 2x3 e é 3x2, então vai ser uma matriz 2x2. Cada elemento de é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e colunas de .

Passo 3

Vamos calcular C = AB = c11 & c12 c21 & c22 . Vamos chamar a matriz resultante de c11 = (log13 x) cdot 0 + (log13 x^2) cdot 1 + 1 cdot (-3 log13 x) , onde:
c12 = (log13 x) cdot log13 x^2 + (log13 x^2) cdot 0 + 1 cdot (-4)
Agora, calculamos cada elemento c21 = 0 cdot 0 + (-log3 x) cdot 1 + 1 cdot (-3 log13 x) :
c22 = 0 cdot log13 x^2 + (-log3 x) cdot 0 + 1 cdot (-4)

Passo 4

Vamos simplificar cada elemento usando propriedades dos logaritmos. Lembre-se que c11 = (-log3 x) cdot 0 + (-2log3 x) cdot 1 + 1 cdot (3log3 x) = (-2log3 x) + 3log3 x = log3 x e c12 = (-log3 x) cdot (-2log3 x) + (-2log3 x) cdot 0 + 1 cdot (-4) = 2(log3 x)^2 - 4 .
Então:
c21 = 0 + (-log3 x) cdot 1 + 1 cdot (3log3 x) = -log3 x + 3log3 x = 2log3 x
c22 = 0 + (-log3 x) cdot 0 + 1 cdot (-4) = -4
C = log3 x & 2(log3 x)^2 - 4 2log3 x & -4
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, queremos que C^T = log3 x & 2log3 x 2(log3 x)^2 - 4 & -4 seja igual à sua transposta 2(log3 x)^2 - 4 = 2log3 x . A transposta de é:
Para , os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais. Ou seja:

Passo 6

Vamos resolver a equação:
2(log3 x)^2 - 4 = 2log3 x
Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 2:
(log3 x)^2 - 2 = log3 x
Subtraindo (log3 x)^2 - log3 x - 2 = 0 de ambos os lados:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática em y^2 - y - 2 = 0 :
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Onde y = 2 ou y = -1 . Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:

Passo 8

Voltando para log3 x = 2 implies x = 3^2 = 9 :
  1. Se log3 x = -1 implies x = 3^-1 = 13 :
  1. Se :

Passo 9

A questão pede a soma de todos os valores de x = 9 e x = 13 que satisfazem a condição:
9 + 13 = 273 + 13 = 283
Somando esses valores:

Resposta

A soma de todos os valores de é . A alternativa correta é a letra b) .

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