Considere as matrizes e . Sendo um número real positivo, a soma de todos os valores de para os quais é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, que é 2x3 e que é 3x2. A questão quer saber para quais valores de a multiplicação dessas matrizes é igual à sua transposta . Isso significa que a matriz resultante tem que ser simétrica. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender o que significa uma matriz ser simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se é 2x3 e é 3x2, então vai ser uma matriz 2x2. Cada elemento de é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e colunas de .
Passo 3
Vamos calcular . Vamos chamar a matriz resultante de , onde:
Agora, calculamos cada elemento :
Passo 4
Vamos simplificar cada elemento usando propriedades dos logaritmos. Lembre-se que e .
Então:
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, queremos que seja igual à sua transposta . A transposta de é:
Para , os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais. Ou seja:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática em :
Onde . Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Passo 8
Voltando para :
Se :
Se :
Passo 9
A questão pede a soma de todos os valores de que satisfazem a condição:
Somando esses valores:
Resposta
A soma de todos os valores de é . A alternativa correta é a letra b) .