(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema homogêneo e pergunta qual é a solução que ele sempre admite. A matéria aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um sistema homogêneo e o que são soluções triviais e não triviais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema homogêneo. É um conjunto de equações lineares onde todos os termos constantes são zero. Ou seja, tem a forma:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre soluções de sistemas homogêneos. Sempre existe pelo menos uma solução, que chamamos de solução trivial. Isso acontece quando todas as variáveis são iguais a zero:
Passo 4
Essa solução trivial é garantida porque, se você substituir todas as variáveis por zero nas equações do sistema homogêneo, cada equação se torna:
O que é sempre verdadeiro. Portanto, a solução trivial sempre existe para qualquer sistema homogêneo.
Passo 5
Além da solução trivial, dependendo do sistema, pode haver soluções não triviais, onde pelo menos uma variável é diferente de zero. Mas, independentemente disso, a solução trivial sempre está presente.
Resposta
A solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero, sempre existe em um sistema homogêneo.