(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema homogêneo e pergunta qual é a solução que ele sempre admite. A matéria aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um sistema homogêneo e o que são soluções triviais e não triviais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema homogêneo. É um conjunto de equações lineares onde todos os termos constantes são zero. Ou seja, tem a forma:
a11x1 + a12x2 + dots + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + dots + a2nxn = 0 vdots am1x1 + am2x2 + dots + amnxn = 0

Passo 3

Agora, vamos falar sobre soluções de sistemas homogêneos. Sempre existe pelo menos uma solução, que chamamos de solução trivial. Isso acontece quando todas as variáveis são iguais a zero:
x1 = x2 = dots = xn = 0

Passo 4

Essa solução trivial é garantida porque, se você substituir todas as variáveis por zero nas equações do sistema homogêneo, cada equação se torna:
0 = 0
O que é sempre verdadeiro. Portanto, a solução trivial sempre existe para qualquer sistema homogêneo.

Passo 5

Além da solução trivial, dependendo do sistema, pode haver soluções não triviais, onde pelo menos uma variável é diferente de zero. Mas, independentemente disso, a solução trivial sempre está presente.

Resposta

A solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero, sempre existe em um sistema homogêneo.

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