Verdadeiro ou falso? Justique.
Cada coluna de AB é uma combinação linear das colunas de B usando como pesos os elementos da coluna correspondente de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está nos pedindo. A questão afirma: “Cada coluna de é uma combinação linear das colunas de usando como pesos os elementos da coluna correspondente de .” Aqui, estamos lidando com o produto de duas matrizes, e , e queremos saber se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos lembrar como a multiplicação de matrizes funciona e entender o conceito de combinação linear.

Passo 2

Vamos revisar rapidamente o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores envolve multiplicar cada vetor por um escalar e somar os resultados. No contexto de matrizes, quando multiplicamos duas matrizes e , cada coluna da matriz resultante é obtida como uma combinação linear das colunas de , não de .

Passo 3

Para multiplicar duas matrizes (de ordem ) e (de ordem ), o elemento na posição de é a soma dos produtos dos elementos da -ésima linha de pelos elementos da -ésima coluna de . Isso significa que cada coluna de é construída usando as colunas de como vetores base, e os elementos da coluna correspondente de como coeficientes.

Passo 4

Portanto, a afirmação da questão inverte a relação correta. Em vez de cada coluna de ser uma combinação linear das colunas de usando os elementos de como pesos, ela afirma o contrário: que é uma combinação das colunas de usando os elementos de como pesos. Isso não está de acordo com a forma como a multiplicação de matrizes realmente funciona.

Resposta

Falso. Cada coluna de é uma combinação linear das colunas de usando os elementos da coluna correspondente de como pesos.

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