Se A=[cc1 & alpha 0 & 1], calcule A^2 e A^3 e, em geral calcule A^n, onde n é um inteiro positivo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz A = 1 & alpha 0 & 1 que é:
E a tarefa é calcular as potências dessa matriz: , e, de maneira geral, onde é um número inteiro positivo. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como identificar um padrão nas potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 1 & alpha 0 & 1 times 1 & alpha 0 & 1 . Isso significa multiplicar a matriz por ela mesma:
Lembre-se que para multiplicar matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.

Passo 3

Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
  • Elemento (1,1): A^2 = 1 & 2alpha 0 & 1
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = 1 & 2alpha 0 & 1 times 1 & alpha 0 & 1 . Isso é igual a A^3 = 1 & 3alpha 0 & 1 :
Vamos multiplicar novamente:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então, temos:

Passo 5

Observando os resultados de A^2 = 1 & 2alpha 0 & 1 , A^3 = 1 & 3alpha 0 & 1 e , dá para notar um padrão na posição (1,2) da matriz, que está aumentando em múltiplos de . Especificamente:
Parece que para cada potência, o coeficiente de na posição (1,2) é igual ao expoente da potência.

Passo 6

Com base nesse padrão, podemos generalizar para A^n = 1 & nalpha 0 & 1 . Observamos que:
Isso significa que, para qualquer inteiro positivo , a matriz terá 1’s na diagonal principal, 0 na posição (2,1) e na posição (1,2).

Resposta

Para qualquer inteiro positivo A^n = 1 & nalpha 0 & 1 , a potência da matriz é:

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