Se
, calcule
e
e, em geral calcule
, onde
é um inteiro positivo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz
que é:
E a tarefa é calcular as potências dessa matriz:
,
e, de maneira geral,
onde
é um número inteiro positivo. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como identificar um padrão nas potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa multiplicar a matriz
por ela mesma:
Lembre-se que para multiplicar matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Passo 3
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Isso é igual a
:
Vamos multiplicar novamente:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então, temos:
Passo 5
Observando os resultados de
e
, dá para notar um padrão na posição (1,2) da matriz, que está aumentando em múltiplos de
. Especificamente:
Parece que para cada potência, o coeficiente de
na posição (1,2) é igual ao expoente da potência.
Passo 6
Com base nesse padrão, podemos generalizar para
. Observamos que:
Isso significa que, para qualquer inteiro positivo
, a matriz
terá 1’s na diagonal principal, 0 na posição (2,1) e
na posição (1,2).
Resposta
Para qualquer inteiro positivo
, a potência da matriz
é: