Sabendo que , calcular:
d)

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de álgebra vetorial. A questão é calcular o produto interno entre o produto vetorial de dois vetores, , e outro vetor que é três vezes o vetor , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do produto escalar (produto interno) e do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular tanto a quanto a . Isso significa que é ortogonal a .

Passo 3

Agora, quando a gente tem o produto interno entre dois vetores que são ortogonais, o resultado é sempre zero. Isso porque o produto interno mede o quanto os vetores “apontam na mesma direção”, e se eles são perpendiculares, esse valor é nulo.

Passo 4

Além disso, temos uma constante multiplicando um dos vetores no produto interno. Lembrando que o produto interno é linear em relação a cada um dos vetores, a constante pode ser fatorada para fora. Então, .

Resposta

Portanto, .

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c)
Se , calcule e e, em geral calcule , onde é um inteiro positivo.
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a)
Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)
d)
e)