Verificar que não são sub-espaços vetoriais do R^3 :
a) (x, y, z) in R^3 mid x=1
b) (x, y, z) in R^3 mid x^2+y+z=0
c) (x, y, z) in R^3 mid x <= y <= z
d) (x, y, z) in R^3 mid x+y in Q
Em cada caso, quais axiomas não se verificam? ( Q é o conjunto dos números racionais.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se certos conjuntos em são subespaços vetoriais. A gente vai usar os conceitos de álgebra linear, especialmente os axiomas que definem um subespaço vetorial. Precisamos checar se esses conjuntos satisfazem os axiomas de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero.

Passo 2

Item a)
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está nesse conjunto. O vetor zero é . Mas aqui, todo vetor tem , e . Então, já falhamos no axioma que exige que o subespaço contenha o vetor zero.
Axioma que não se verifica: Existência do vetor zero.

Passo 3

Item b) x1^2 + y1 + z1 = 0 e x2^2 + y2 + z2 = 0
Vamos checar se o conjunto é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
  • Fechamento sob adição: Suponha que temos dois vetores (x1 + x2)^2 + (y1 + y2) + (z1 + z2) = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1 + y2 + z1 + z2 = 2x1x2 e (kx)^2 + ky + kz = k^2x^2 + k(y + z) no conjunto. Então:
    Somando os dois vetores: . Vamos verificar:
    Isso não necessariamente é zero, a menos que , o que nem sempre acontece.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar , temos . Verificando:
    Isso não é igual a zero a menos que ou e .
Axioma que não se verifica: Fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 4

Item c) x1 + x2 <= y1 + y2 <= z1 + z2
Vamos analisar os axiomas:
  • Fechamento sob adição: Suponha e no conjunto, ou seja, e . Somando:
    Isso pode não se manter, por exemplo, se e , então , mas , e . Dependendo dos valores, a desigualdade pode não se sustentar.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar negativo, a ordem das desigualdades se inverte. Por exemplo, se , então , o que não satisfaz .
Axioma que não se verifica: Fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 5

Item d) (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2)
Vamos verificar os axiomas:
  • Fechamento sob adição: Se kx + ky = k(x + y) e estão no conjunto, então e são racionais. Somando:
    A soma de dois números racionais é racional, então esse axioma está satisfeito.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar irracional, digamos , e é racional, então:
    Como é irracional e é racional (não zero), o produto será irracional, ou seja, .
Axioma que não se verifica: Fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

Nenhum dos conjuntos apresentados é um subespaço vetorial de . Em cada caso, pelo menos um dos axiomas fundamentais dos subespaços vetoriais não é satisfeito. Especificamente:
a) Não contém o vetor zero.
b) Não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
c) Não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
d) Não é fechado sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados