Verificar que não são sub-espaços vetoriais do
:
a)
b)
c)
d)
Em cada caso, quais axiomas não se verificam? (
é o conjunto dos números racionais.)
a)
b)
c)
d)
Em cada caso, quais axiomas não se verificam? (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se certos conjuntos em
são subespaços vetoriais. A gente vai usar os conceitos de álgebra linear, especialmente os axiomas que definem um subespaço vetorial. Precisamos checar se esses conjuntos satisfazem os axiomas de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero.
Passo 2
Item a)
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está nesse conjunto. O vetor zero é
. Mas aqui, todo vetor tem
, e
. Então, já falhamos no axioma que exige que o subespaço contenha o vetor zero.
Axioma que não se verifica: Existência do vetor zero.
Passo 3
Item b)
Vamos checar se o conjunto é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
-
Fechamento sob adição: Suponha que temos dois vetores
e no conjunto. Então: Somando os dois vetores:. Vamos verificar: Isso não necessariamente é zero, a menos que, o que nem sempre acontece. -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos
por um escalar , temos . Verificando: Isso não é igual a zero a menos queou e .
Axioma que não se verifica: Fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Item c)
Vamos analisar os axiomas:
-
Fechamento sob adição: Suponha
e no conjunto, ou seja, e . Somando: Isso pode não se manter, por exemplo, see , então , mas , e . Dependendo dos valores, a desigualdade pode não se sustentar. -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar negativo, a ordem das desigualdades se inverte. Por exemplo, se
, então , o que não satisfaz .
Axioma que não se verifica: Fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 5
Item d)
Vamos verificar os axiomas:
-
Fechamento sob adição: Se
e estão no conjunto, então e são racionais. Somando: A soma de dois números racionais é racional, então esse axioma está satisfeito. -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar irracional, digamos
, e é racional, então: Comoé irracional e é racional (não zero), o produto será irracional, ou seja, .
Axioma que não se verifica: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Resposta
Nenhum dos conjuntos apresentados é um subespaço vetorial de
. Em cada caso, pelo menos um dos axiomas fundamentais dos subespaços vetoriais não é satisfeito. Especificamente:
a) Não contém o vetor zero.
b) Não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
c) Não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
d) Não é fechado sob multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Determinar as coordenadas da matriz
de
em relação à base:
Mostrar que o subconjunto de vetores:
é uma base do seguinte subespaço vetorial do
:
5
Sejam e
matrizes de ordem
, tais que
. Demonstre a fórmula do binômio de Newton:
Sejam
Se
, mostre que a fórmula acima é falsa.
Se
, calcule
e
e, em geral calcule
, onde
é um inteiro positivo.