5
Sejam
e
matrizes de ordem
, tais que
. Demonstre a fórmula do binômio de Newton:
Se
, mostre que a fórmula acima é falsa.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar a fórmula do binômio de Newton para matrizes quadradas
que comutam, ou seja, satisfazem
. Se as matrizes não comutarem, a fórmula não vale. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de matrizes elevadas a potências, a expansão do binômio de Newton e entender o que significa duas matrizes comutarem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Isso quer dizer que a ordem da multiplicação não importa:
. Isso é importante porque, ao expandir
, precisamos poder rearranjar os termos sem alterar o resultado.
Passo 3
Agora, vamos pensar na expansão de
usando o binômio de Newton. Para números, sabemos que
. Queremos ver se essa mesma fórmula funciona para matrizes.
Passo 4
A chave aqui é que, para símbolos que comutam, como números, podemos rearranjar as multiplicações sem problemas. Como
, ao multiplicar
e
várias vezes, podemos sempre colocar todas as
juntas e todas as
juntas, ou seja,
.
Passo 5
Vamos agora formalizar isso. Expandindo
, temos:
Isso porque cada termo da expansão corresponde a escolher
vezes
e
vezes
, e como elas comutam, a ordem não afeta o produto final.
Passo 6
Agora, se
, ou seja, se as matrizes não comutarem, não podemos simplesmente rearranjar os termos. Nesse caso, a expansão do binômio de Newton para matrizes não seria válida, pois a ordem das multiplicações influencia o resultado final.
Resposta
Portanto, quando
, a fórmula do binômio de Newton para matrizes é válida:
Mas se
, essa fórmula não se aplica.