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Sejam A e B matrizes de ordem n times n, tais que A B=B A. Demonstre a fórmula do binômio de Newton:
(A+B)^n=sumk=0^nbinomnk A^k B^n-k, onde binomnk=n!k!(n-k)!
Se A B neq B A, mostre que a fórmula acima é falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar a fórmula do binômio de Newton para matrizes quadradas que comutam, ou seja, satisfazem . Se as matrizes não comutarem, a fórmula não vale. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de matrizes elevadas a potências, a expansão do binômio de Newton e entender o que significa duas matrizes comutarem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Isso quer dizer que a ordem da multiplicação não importa: . Isso é importante porque, ao expandir , precisamos poder rearranjar os termos sem alterar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos pensar na expansão de usando o binômio de Newton. Para números, sabemos que . Queremos ver se essa mesma fórmula funciona para matrizes.

Passo 4

A chave aqui é que, para símbolos que comutam, como números, podemos rearranjar as multiplicações sem problemas. Como , ao multiplicar e várias vezes, podemos sempre colocar todas as juntas e todas as juntas, ou seja, .

Passo 5

Vamos agora formalizar isso. Expandindo (A + B)^n = sumk=0^n binomnk A^k B^n-k , temos:
Isso porque cada termo da expansão corresponde a escolher vezes e vezes , e como elas comutam, a ordem não afeta o produto final.

Passo 6

Agora, se , ou seja, se as matrizes não comutarem, não podemos simplesmente rearranjar os termos. Nesse caso, a expansão do binômio de Newton para matrizes não seria válida, pois a ordem das multiplicações influencia o resultado final.

Resposta

Portanto, quando (A + B)^n = sumk=0^n binomnk A^k B^n-k , a fórmula do binômio de Newton para matrizes é válida:
Mas se , essa fórmula não se aplica.

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