Se A=[cc2 & 0 0 & -2] e B=[ccc13 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -1]. Calcule A^2, A^3, B^2 e B^3. Agora, se C=[llla & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c], onde a, b, c são números reais, deduz como é C^n para qualquer inteiro positivo n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, e , e pede para calcular , , e . Além disso, temos outra matriz com elementos , e , e precisamos descobrir como fica para qualquer número inteiro positivo . Vamos usar conceitos de matrizes diagonais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz onde todos os elementos fora da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita) são zero. Isso facilita muito quando queremos elevar essa matriz a uma potência, porque a operação fica só nos elementos da diagonal.

Passo 3

Vamos calcular A = 2 & 0 0 & -2 . A matriz A^2 = 2^2 & 0 0 & (-2)^2 = 4 & 0 0 & 4 é:
Para elevar ao quadrado, elevamos cada elemento da diagonal ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos para A^3 = 2^3 & 0 0 & (-2)^3 = 8 & 0 0 & -8 . Usando a mesma lógica:

Passo 5

Vamos calcular B = 13 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -1 . A matriz B^2 = (13)^2 & 0 & 0 0 & 4^2 & 0 0 & 0 & (-1)^2 = 19 & 0 & 0 0 & 16 & 0 0 & 0 & 1 é:
Elevando cada elemento da diagonal ao quadrado:

Passo 6

Agora, B^3 = (13)^3 & 0 & 0 0 & 4^3 & 0 0 & 0 & (-1)^3 = 127 & 0 & 0 0 & 64 & 0 0 & 0 & -1 :

Passo 7

Por fim, vamos deduzir C = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c para qualquer inteiro positivo C^n = a^n & 0 & 0 0 & b^n & 0 0 & 0 & c^n . A matriz é:
Para qualquer potência , simplesmente elevamos cada elemento da diagonal a :

Resposta

As matrizes elevadas a potências são:
A^2 = 4 & 0 0 & 4 , A^3 = 8 & 0 0 & -8
B^2 = 19 & 0 & 0 0 & 16 & 0 0 & 0 & 1 , B^3 = 127 & 0 & 0 0 & 64 & 0 0 & 0 & -1
E para qualquer inteiro positivo C^n = a^n & 0 & 0 0 & b^n & 0 0 & 0 & c^n :

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