Considere beta=v1, v2, v3 subset R^6 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
(B) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 no espaço R^6. São apresentados dois sistemas lineares com as matrizes aumentadas:
S1:[ccc|c v1 & v2 & v3 & 0 ] e S2:[cc|c v1 & v2 & v3 ]
Vamos analisar as afirmativas sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) de beta e verificar qual delas são verdadeiras.

Passo 2

Afirmativa I: Se beta é LI, então S2 não tem solução.
Vamos entender o que significa S2. O sistema S2 é:
v1 x1 + v2 x2 = v3
Se beta é linearmente independente, isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Portanto, para resolver S2, teríamos que v3 não pode ser criado a partir de v1 e v2, o que implicaria que o sistema não tem solução.
Conclusão da I: Verdadeira.

Passo 3

Afirmativa II: Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
Se beta é linearmente dependente, isso significa que existe uma combinação linear não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.
No sistema S2, se v3 puder ser expresso como combinação de v1 e v2, então o sistema terá infinitas soluções, não uma única.
Conclusão da II: Falsa.

Passo 4

Afirmativa III: Se beta é LI, então S1 tem solução única.
O sistema S1 é homogêneo:
v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 = 0
Se beta é linearmente independente, a única solução para esse sistema é a trivial, onde todos os coeficientes x1, x2 e x3 são zero.
Conclusão da III: Verdadeira.

Resposta

As afirmativas I e III são verdadeiras. Apenas a afirmativa II é falsa.

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