Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
tem solução única.
(B) Apenas II é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(B) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos um conjunto de vetores
no espaço
. São apresentados dois sistemas lineares com as matrizes aumentadas:
Vamos analisar as afirmativas sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) de
e verificar qual delas são verdadeiras.
Passo 2
Afirmativa I: Se
é LI, então
não tem solução.
Vamos entender o que significa
. O sistema
é:
Se
é linearmente independente, isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Portanto, para resolver
, teríamos que
não pode ser criado a partir de
e
, o que implicaria que o sistema não tem solução.
Conclusão da I: Verdadeira.
Passo 3
Afirmativa II: Se
é LD, então
pode ter solução única.
Se
é linearmente dependente, isso significa que existe uma combinação linear não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.
No sistema
, se
puder ser expresso como combinação de
e
, então o sistema terá infinitas soluções, não uma única.
Conclusão da II: Falsa.
Passo 4
Afirmativa III: Se
é LI, então
tem solução única.
O sistema
é homogêneo:
Se
é linearmente independente, a única solução para esse sistema é a trivial, onde todos os coeficientes
,
e
são zero.
Conclusão da III: Verdadeira.
Resposta
As afirmativas I e III são verdadeiras. Apenas a afirmativa II é falsa.