Beleza! Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear. A questão é encontrar uma matriz que, quando multiplicada por ela mesma (), resulte na matriz . Ou seja, estamos procurando uma “raiz quadrada” da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que encontrar uma matriz tal que é um pouco mais complicado do que simplesmente tirar a raiz quadrada de um número. Mas não se preocupa, vamos por partes!
Passo 3
Para resolver isso, vamos supor que a matriz tem a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação .
Passo 4
Vamos calcular :
Queremos que isso seja igual a , então igualamos os elementos correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Observando as segunda e terceira equações:
a b + b d = -2 e c a + d c = -4
Podemos fatorar b(a + d) = -2 e c(a + d) = -4 e :
Isso sugere que , já que .
Passo 6
Sabendo que a^2 + b c = 3 Rightarrow a^2 + b(2b) = 3 Rightarrow a^2 + 2b^2 = 3 , vamos substituir esse valor nas outras equações. Vamos começar pela primeira equação:
b c + d^2 = 3 Rightarrow b(2b) + d^2 = 3 Rightarrow 2b^2 + d^2 = 3
E na quarta equação:
Passo 7
Agora temos:
a^2 + 2b^2 = 3 e 2b^2 + d^2 = 3
Se subtrairmos as duas equações, teremos:
a^2 - d^2 = 0 Rightarrow a^2 = d^2 Rightarrow a = d ou a = -d
Vamos considerar o caso primeiro.
Passo 8
Assumindo que b(a + d) = -2 Rightarrow b(2a) = -2 Rightarrow 2a b = -2 Rightarrow a b = -1 Rightarrow b = -1a , vamos substituir na segunda equação:
E lembrando que .
Passo 9
Vamos agora usar a primeira equação com a^2 + 2b^2 = 3 Rightarrow a^2 + 2(-1a)^2 = 3 Rightarrow a^2 + 2a^2 = 3 e a^4 + 2 = 3a^2 Rightarrow a^4 - 3a^2 + 2 = 0 :
x^2 - 3x + 2 = 0 Rightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 Rightarrow x = 1 ou x = 2
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Isso é uma equação quadrática em termos de . Vamos chamar :
Então, ou .
Passo 10
Vamos considerar 2(1)^2 + d^2 = 3 Rightarrow 2 + d^2 = 3 Rightarrow d^2 = 1 Rightarrow d = 1 (já que a = d) , então 2(1)^2 + d^2 = 3 Rightarrow 2 + d^2 = 3 Rightarrow d^2 = 1 Rightarrow d = -1 (já que a = d) ou :
Se , então e .
Se , então e .
Agora, substituindo esses valores na quarta equação :
Para :
á
Então, .
Para :
á
Então, .
Passo 11
Agora temos duas possíveis matrizes B = 1 & -1 -2 & 1 :
Para B = -1 & 1 2 & -1 :
Para :
Vamos verificar se essas matrizes satisfazem a condição .
Passo 12
Calculando 1 & -1 -2 & 1 times 1 & -1 -2 & 1 = (1)(1) + (-1)(-2) & (1)(-1) + (-1)(1) (-2)(1) + (1)(-2) & (-2)(-1) + (1)(1) = 3 & -2 -4 & 3 = A para a primeira matriz: