Se A=(cc3 & -2 -4 & 3), encontre uma matriz B tal que B^2=A.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear. A questão é encontrar uma matriz 3 & -2 -4 & 3 que, quando multiplicada por ela mesma ( ), resulte na matriz . Ou seja, estamos procurando uma “raiz quadrada” da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que encontrar uma matriz tal que é um pouco mais complicado do que simplesmente tirar a raiz quadrada de um número. Mas não se preocupa, vamos por partes!

Passo 3

Para resolver isso, vamos supor que a matriz B = a & b c & d tem a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação .

Passo 4

Vamos calcular B^2 = B times B = a & b c & d times a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & b c + d^2 :
a^2 + b c = 3 a b + b d = -2 c a + d c = -4 b c + d^2 = 3
Queremos que isso seja igual a , então igualamos os elementos correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Observando as segunda e terceira equações:
a b + b d = -2 e c a + d c = -4
Podemos fatorar b(a + d) = -2 e c(a + d) = -4 e :
Isso sugere que , já que .

Passo 6

Sabendo que a^2 + b c = 3 Rightarrow a^2 + b(2b) = 3 Rightarrow a^2 + 2b^2 = 3 , vamos substituir esse valor nas outras equações. Vamos começar pela primeira equação:
b c + d^2 = 3 Rightarrow b(2b) + d^2 = 3 Rightarrow 2b^2 + d^2 = 3
E na quarta equação:

Passo 7

Agora temos:
a^2 + 2b^2 = 3 e 2b^2 + d^2 = 3
Se subtrairmos as duas equações, teremos:
a^2 - d^2 = 0 Rightarrow a^2 = d^2 Rightarrow a = d ou a = -d
Vamos considerar o caso primeiro.

Passo 8

Assumindo que b(a + d) = -2 Rightarrow b(2a) = -2 Rightarrow 2a b = -2 Rightarrow a b = -1 Rightarrow b = -1a , vamos substituir na segunda equação:
E lembrando que .

Passo 9

Vamos agora usar a primeira equação com a^2 + 2b^2 = 3 Rightarrow a^2 + 2(-1a)^2 = 3 Rightarrow a^2 + 2a^2 = 3 e a^4 + 2 = 3a^2 Rightarrow a^4 - 3a^2 + 2 = 0 :
x^2 - 3x + 2 = 0 Rightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 Rightarrow x = 1 ou x = 2
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Isso é uma equação quadrática em termos de . Vamos chamar :
Então, ou .

Passo 10

Vamos considerar 2(1)^2 + d^2 = 3 Rightarrow 2 + d^2 = 3 Rightarrow d^2 = 1 Rightarrow d = 1 (já que a = d) , então 2(1)^2 + d^2 = 3 Rightarrow 2 + d^2 = 3 Rightarrow d^2 = 1 Rightarrow d = -1 (já que a = d) ou :
  • Se , então e .
  • Se , então e .
Agora, substituindo esses valores na quarta equação :
  • Para :
á
Então, .
  • Para :
á
Então, .

Passo 11

Agora temos duas possíveis matrizes B = 1 & -1 -2 & 1 :
  1. Para B = -1 & 1 2 & -1 :
  1. Para :
Vamos verificar se essas matrizes satisfazem a condição .

Passo 12

Calculando 1 & -1 -2 & 1 times 1 & -1 -2 & 1 = (1)(1) + (-1)(-2) & (1)(-1) + (-1)(1) (-2)(1) + (1)(-2) & (-2)(-1) + (1)(1) = 3 & -2 -4 & 3 = A para a primeira matriz:
Então, essa matriz realmente satisfaz .

Passo 13

Da mesma forma, para a segunda matriz:
-1 & 1 2 & -1 times -1 & 1 2 & -1 = (-1)(-1) + (1)(2) & (-1)(1) + (1)(-1) (2)(-1) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(-1) = 3 & -2 -4 & 3 = A
Essa também funciona!

Resposta

Uma das matrizes B = 1 & -1 -2 & 1 que satisfaz B = -1 & 1 2 & -1 é:
Outra solução possível é:

Exercícios relacionados

Suponha que u, v, w são vetores tais que lang<= u, vrang<==2,lang<= u, wrang<==-3,lang<= v, wrang<==5,|u|=1,|v|=2 e |w|=1. Calcule: |u+v+w|
Considere as mat ries: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C-[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5],
D=[c 1 -1 2 ] e E=[ccc 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 ]
Cakuk guando posivel, as soguintes matrizes:
(f) D cdot D cdot E
Sejan as matrizes A=[ccc2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4] e B=[ccc1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6]
Cabo exisa uman matriz C nas condicóes dadas, calcule sou traco:
(b) (2 A+C)^4-A^4+D^4
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
j) W=A in Mn(R) mid A é diagonal .