Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial.
j) é diagonal .
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes diagonais de ordem com números reais, é um subespaço vetorial. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que satisfaz três condições principais:
Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero deve estar em .
Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes em e somá-las, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalares: Se você pegar uma matriz em e multiplicá-la por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto :
Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal são zero, e os da diagonal também são zero). Portanto, a matriz zero está em .
Fechado sob adi��ão:
Se e são duas matrizes diagonais em , então a soma também será uma matriz diagonal. Isso porque, ao somar duas matrizes diagonais, apenas os elementos da diagonal são somados, mantendo os elementos fora da diagonal iguais a zero.
Fechado sob multiplicação por escalares:
Se é uma matriz diagonal em e é um número real, então também será uma matriz diagonal. Isso porque multiplicar cada elemento da matriz diagonal por não altera o fato de que os elementos fora da diagonal continuam sendo zero.
Passo 4
Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem com números reais é, de fato, um subespaço vetorial.