Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
j) W=A in Mn(R) mid A é diagonal .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes diagonais de ordem com números reais, é um subespaço vetorial. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes em e somá-las, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalares: Se você pegar uma matriz em e multiplicá-la por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto :
  1. Contém o vetor zero:
    A matriz zero é uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal são zero, e os da diagonal também são zero). Portanto, a matriz zero está em .
  2. Fechado sob adi��ão:
    Se e são duas matrizes diagonais em , então a soma também será uma matriz diagonal. Isso porque, ao somar duas matrizes diagonais, apenas os elementos da diagonal são somados, mantendo os elementos fora da diagonal iguais a zero.
  3. Fechado sob multiplicação por escalares:
    Se é uma matriz diagonal em e é um número real, então também será uma matriz diagonal. Isso porque multiplicar cada elemento da matriz diagonal por não altera o fato de que os elementos fora da diagonal continuam sendo zero.

Passo 4

Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem com números reais é, de fato, um subespaço vetorial.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial.

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