A=(ccc 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ) ; B=(cccc 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) ; C=(cc 1 & 0 0 & 2 ) ; D=(cc 1 & 0 0 & 1 0 & 0 1 & 2 ) ; E=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 )
Determine o posto e a nulidade de cada uma delas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o posto (também conhecido como rank) e a nulidade de cinco matrizes diferentes: A, B, C, D e E. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como posto de uma matriz e teorema da dimensão. Vamos precisar entender como identificar colunas ou linhas independentes e aplicar o teorema que relaciona posto e nulidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Ou seja, é a quantidade de informações “diferentes” que a matriz contém.
A nulidade é o número de soluções livres no sistema homogêneo Posto + Nulidade = Número de colunas da matriz . Pelo teorema da dimensão, sabemos que:
ú
Então, se a gente descobrir o posto, já pode facilmente achar a nulidade.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A:
A = 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Para encontrar o posto, vamos olhar quantas linhas não nulas existem na forma escalonada da matriz. Neste caso, a terceira linha é toda zero, então só temos duas linhas não nulas. Isso significa que o posto de A é 2.
Agora, aplicando o teorema da dimensão:
Nulidade = Número de colunas - Posto = 3 - 2 = 1 ú
Então, a nulidade de A é 1.

Passo 4

Vamos para a matriz B:
B = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Novamente, observamos as linhas não nulas. Ambas as linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero e são linearmente independentes. Portanto, o posto de B é 2.
Aplicando o teorema da dimensão:
Nulidade = 4 - 2 = 2
Assim, a nulidade de B é 2.

Passo 5

Agora, vamos analisar a matriz C:
C = 1 & 0 0 & 2
Essa é uma matriz 2x2 com elementos diagonais não nulos. Isso significa que ambas as colunas são linearmente independentes. Então, o posto de C é 2.
Pelo teorema da dimensão:
Nulidade = 2 - 2 = 0
Portanto, a nulidade de C é 0.

Passo 6

Vamos para a matriz D:
D = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 1 & 2
Primeiro, observamos as colunas:
  • A primeira coluna é 1 0 0 1
  • A segunda coluna é 0 1 0 2
Essas duas colunas são linearmente independentes porque nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Então, o posto de D é 2.
Aplicando o teorema da dimensão:
Nulidade = 2 - 2 = 0
Logo, a nulidade de D é 0.

Passo 7

Finalmente, vamos analisar a matriz E:
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Vamos verificar as colunas:
  • A primeira coluna é 1 0 0 0
  • A segunda coluna é 0 1 0 1
  • A terceira coluna é 0 0 1 1
Todas as três colunas são linearmente independentes, já que nenhuma pode ser escrita como combinação das outras. Portanto, o posto de E é 3.
Aplicando o teorema da dimensão:
Nulidade = 3 - 3 = 0
Então, a nulidade de E é 0.

Resposta

  • Matriz A: Posto = 2; Nulidade = 1
  • Matriz B: Posto = 2; Nulidade = 2
  • Matriz C: Posto = 2; Nulidade = 0
  • Matriz D: Posto = 2; Nulidade = 0
  • Matriz E: Posto = 3; Nulidade = 0

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