Utilize o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução particular para a equação diferencial ordinária
Escreva a solução geral.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 3
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para
.
Passo 5
Como o termo do lado direito é
e
já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicação. Então, assumimos:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Resolvendo essa equação para encontrar os valores de
e
.
Passo 8
Após igualar os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos:
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.