Utilize o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução particular para a equação diferencial ordinária
y^prime prime-4 y^prime+4 y=3 x e^2 x, y=y(x)
Escreva a solução geral.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: r^2 - 4r + 4 = 0 . Para isso, encontramos a equação característica:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 3

Com a raiz dupla yh(x) = (C1 + C2 x) e^2x , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Usamos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para .

Passo 5

Como o termo do lado direito é yp(x) = x(Ax + B) e^2x e já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicação. Então, assumimos:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = (Ax + B)e^2x + x(A) e^2x + 2x(Ax + B) e^2x
yp'' = 2A e^2x + 2(Ax + B)e^2x + 2Ax e^2x + 2x(A) e^2x + 4x(Ax + B)e^2x

Passo 7

Substituímos yp'' - 4yp' + 4yp = 3x e^2x , e na equação diferencial original:
Resolvendo essa equação para encontrar os valores de e .

Passo 8

Após igualar os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos:
A = 34, B = -38

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
yp(x) = x(34x - 38) e^2x = (34x^2 - 38x) e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^2x + (34x^2 - 38x) e^2x
onde e são constantes arbitrárias.

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