a) Diga, justificando, se E1 e E2 são matrizes elementares e, em caso afirmativo, indique as operações elementares O1 e O2 que transformaram a matriz identidade de ordem 3 em E1 e E2, respectivamente.
b) Calcule as matrizes B=E1 A, C=E2 B, D=E2 E1 A
c) Determine as matrizes F, G e H tais que F é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 do item a); G é obtida de B aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O2 do item a); e H é obtida de A aplicando-se nas linhas de A as operações elementar O1 e O2, nesta ordem.
d) Compare as matrizes encontradas nos itens b) e c). Conclua sobre a multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e aplicação de operações elementares nas linhas de A, correspondentes às matrizes elementares-
e) Determine a matriz elementar E3, tal que a matriz P=E3 E2 E1 A
f) Será possível encontrar uma única matriz elementar E tal que P=EA, sendo P a matriz encontrada no item e) ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. O que temos aqui são várias matrizes e precisamos verificar algumas propriedades delas e realizar operações com elas. O conteúdo principal é matrizes elementares e como elas interagem com outras matrizes, além de operações elementares nas linhas das matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes elementares, como identificar as operações que elas representam e como multiplicá-las com outras matrizes.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos ver se as matrizes E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 13 e E2 = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 são matrizes elementares. Matrizes elementares são aquelas que resultam de uma única operação elementar aplicada à matriz identidade. Existem três tipos de operações elementares:
Troca de linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de 1.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos analisar cada matriz:
Para :
Observamos que é igual à identidade, exceto pelo elemento na posição (3,3). Isso significa que multiplicamos a terceira linha da identidade por . Portanto, é uma matriz elementar correspondente à multiplicação de uma linha por um escalar.
Para :
Aqui, é igual à identidade, mas o elemento (1,3) é 1. Isso indica que adicionamos a terceira linha à primeira linha. Portanto, é uma matriz elementar correspondente à adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Conclusão: Tanto quanto são matrizes elementares.
As operações elementares que transformam a identidade em e são:
Matriz : Obtida de aplicando (adicionar a terceira linha à primeira linha):
Adicionando a terceira linha à primeira:
Matriz : Obtida de aplicando e depois :
Primeiro, aplicamos :
Depois, aplicamos em :
Resumo:
Passo 5
Parte d)
Vamos comparar as matrizes encontradas nos itens b) e c):
De b):
1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
De c):
1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Observamos que , , e são iguais. Isso mostra que multiplicar as matrizes elementares à esquerda de resulta no mesmo efeito que aplicar as operações elementares diretamente nas linhas de .
Conclusão: Multiplicar uma matriz elementar à esquerda de uma matriz é equivalente a aplicar a operação elementar correspondente nas linhas de .
Passo 6
Parte e)
Queremos determinar uma matriz elementar P = E3 cdot E2 cdot E1 cdot A tal que:
Sabemos que e são matrizes elementares. O produto de matrizes elementares também é uma matriz invertível, mas geralmente não é uma matriz elementar, a menos que seja uma operação elementar única.
Vamos calcular de modo que . Porém, sem informações adicionais sobre , assumimos que pode ser simplesmente uma das matrizes elementares ou uma combinação deles.
Como foi pedido para determinar , entendemos que deve representar a sequência de operações que já foram aplicadas nas partes anteriores. Porém, normalmente, o produto de duas ou mais matrizes elementares não é novamente uma matriz elementar, a menos que as operações se reduzam a uma única operação elementar.
Portanto, neste caso, não existe como uma matriz elementar única que satisfaça , já que o produto já foi calculado e resultou em uma matriz que não é elementar.
Conclusão: Não é possível determinar uma única matriz elementar que satisfaça .
Passo 7
Parte f)
Será possível encontrar uma única matriz elementar tal que , sendo a matriz encontrada no item e)?
Como vimos no item e), , onde é um produto de matrizes elementares, mas essa multiplicação não resulta necessariamente em uma única matriz elementar.
Uma matriz elementar representa uma única operação elementar, e o produto de duas ou mais operações geralmente não se reduz a uma única operação elementar. Portanto, não é possível combinar múltiplas operações elementares em uma única matriz elementar que represente todas elas simultaneamente.
Conclusão: Não é possível encontrar uma única matriz elementar tal que .