Resolva a seguinte equação diferencial, com y=y(x),
y^prime prime+x^2 y=0
através de uma série de potências em torno do ponto ordinário x0=0. Encontre a relação de recorrência e os três primeiros termos de cada uma das séries. Escreva a solução geral.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a equação diferencial e precisamos resolvê-la usando uma série de potências em torno do ponto . Para isso, vamos utilizar o método das séries de potências, que envolve expressar como uma soma infinita de termos com potências de . Precisaremos encontrar a relação de recorrência que liga os coeficientes da série e determinar os três primeiros termos de cada série. No final, vamos escrever a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser representada por uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1 necessárias para substituir na equação diferencial. Calculando a primeira e a segunda derivada:
y''(x) = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 + x^2 sumn=0^infty an x^n = 0 e x^2 y(x) = sumn=0^infty an x^n+2 na equação diferencial :
Simplificando o segundo termo:

Passo 5

Agora, ajustamos os índices das somas para que ambas as séries tenham a mesma potência de summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m . Vamos substituir sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) x^n na primeira soma:
sumn=0^infty an x^n+2 = sumn=0^infty an-2 x^n
E renomear para :
Para a segunda soma, ajustamos o índice para começar em :
Aqui, entendemos que quando .

Passo 6

Juntando as duas séries, temos:
sumn=0^infty [ an+2 (n+2)(n+1) + an-2 ] x^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo an+2 (n+2)(n+1) + an-2 = 0 , cada coeficiente de deve ser zero. Ou seja:

Passo 7

Resolvendo para an+2 = -an-2(n+2)(n+1) , obtemos a relação de recorrência:
Essa fórmula nos permite calcular os coeficientes da série a partir dos termos anteriores.

Passo 8

Agora, vamos determinar os três primeiros termos de cada série. Assumimos que a2 = -a-22 cdot 1 = 0 (pois a-2 = 0) e a3 = -a-13 cdot 2 = 0 (pois a-1 = 0) são constantes arbitrárias (já que a equação diferencial é de segunda ordem):
  1. Para a4 = -a04 cdot 3 = -a012 :
    y(x) = a0 + a1 x + 0 cdot x^2 + 0 cdot x^3 - a012 x^4 + cdots
  2. Para :
  3. Para :
Portanto, os três primeiros termos da série são:

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(x) = a0 (1 - x^412 + cdots ) + a1 (x + cdots ) em forma de série de potências centrada em é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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