Resolva a seguinte equação diferencial,
,
através de uma série de potências em torno do ponto ordinário
. Encontre a relação de recorrência e os três primeiros termos de cada uma das séries. Escreva a solução geral.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a equação diferencial
e precisamos resolvê-la usando uma série de potências em torno do ponto
. Para isso, vamos utilizar o método das séries de potências, que envolve expressar
como uma soma infinita de termos com potências de
. Precisaremos encontrar a relação de recorrência que liga os coeficientes da série e determinar os três primeiros termos de cada série. No final, vamos escrever a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser representada por uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial. Calculando a primeira e a segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
:
Simplificando o segundo termo:
Passo 5
Agora, ajustamos os índices das somas para que ambas as séries tenham a mesma potência de
. Vamos substituir
na primeira soma:
E renomear
para
:
Para a segunda soma, ajustamos o índice para começar em
:
Aqui, entendemos que
quando
.
Passo 6
Juntando as duas séries, temos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero. Ou seja:
Passo 7
Resolvendo para
, obtemos a relação de recorrência:
Essa fórmula nos permite calcular os coeficientes da série a partir dos termos anteriores.
Passo 8
Agora, vamos determinar os três primeiros termos de cada série. Assumimos que
e
são constantes arbitrárias (já que a equação diferencial é de segunda ordem):
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Portanto, os três primeiros termos da série são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em forma de série de potências centrada em
é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.