(a) A=[ccc1 & 0 & 4 2 & 1 & 3 0 & 1 & -5] (b) A=[ccc1 & 3 & 0 2 & 5 & -1 0 & 1 & 2]
i) Determine as matrizes F e R escalonada reduzida, linha equivalente a A, tais que F cdot A=R

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as matrizes e de uma matriz . Aqui, será a forma escalonada reduzida de e será a matriz que, quando multiplicada por , resulta em . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e operações elementares de linha para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz escalonada reduzida. É uma forma da matriz onde cada pivô (primeiro número não nulo em cada linha) é 1, e cada pivô é o único número não nulo na sua coluna. Para transformar em , vamos aplicar operações de linha.

Passo 3

Vamos começar trabalhando com a matriz do item (a):
A = 1 & 0 & 4 2 & 1 & 3 0 & 1 & -5
Nosso objetivo é transformar essa matriz em usando operações de linha. Cada operação que fazemos pode ser representada por uma matriz elemental, e a multiplicação dessas matrizes elementares dará a matriz .

Passo 4

Primeira operação: queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
Aplicando:
1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 1 & -5

Passo 5

Segunda operação: queremos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Aplicando:
1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0

Passo 6

Agora, a matriz já está em forma escalonada reduzida. Então, R = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 para a matriz (a) é:
Para encontrar , precisamos considerar as operações que fizemos em sequência. Cada operação pode ser representada por uma matriz elemental, e é o produto dessas matrizes.

Passo 7

A primeira operação subtraiu 2 vezes a primeira linha da segunda. A matriz elemental correspondente é:
E1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1
A segunda operação subtraiu a segunda linha da terceira. A matriz elemental correspondente é:
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Portanto, F = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 :

Resposta

Para a matriz (a), temos:
F = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & -1 & 1
e
R = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0
tal que .

Exercícios relacionados