(a) Mostre que se T(v1), ldots, T(vn) in W são L.I. então v1, ldots, vn são L.I.
(b) Mostre que se V=W e os vetores T(v1), ldots, T(vn) geram V então os vetores v1, ldots, vn in V geram V.

Passo 1

Olá! Vamos resolver o exercício que tem duas partes, (a) e (b). O conteúdo envolve Transformações Lineares, Independência Linear e Geração de Espaços Vetoriais. Precisamos usar conceitos de independência linear e como as transformações lineares afetam esses conceitos para demonstrar as afirmações dadas.

Passo 2

Parte (a)

Primeiro, vamos entender o que significa que são linearmente independentes em . Isso quer dizer que a única combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero em é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que isso implica que os vetores são linearmente independentes em . Ou seja, se em , então necessariamente .

Passo 4

Vamos considerar a combinação linear T(a1v1 + ldots + anvn) = a1T(v1) + ldots + anT(vn) = T(0) = 0 em e aplicar a transformação linear a ambos os lados. Como é linear, temos:
Isso significa que a combinação linear de também resulta no vetor zero em .

Passo 5

Como sabemos que são linearmente independentes, a única solução para é . Portanto, os coeficientes devem ser todos zero.

Passo 6

Isso demonstra que a única combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero em é quando todos os coeficientes são zero. Portanto, são linearmente independentes em .

Passo 7

Parte (b)

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos que e os vetores geram . Queremos mostrar que isso implica que também geram .

Passo 8

Gerar v = b1T(v1) + ldots + bnT(vn) significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores dados. Então, se geram , para qualquer vetor , existe uma combinação linear:
para alguns escalares .

Passo 9

Como e é uma transformação linear que mapeia para , podemos pensar na transformação inversa ou na possibilidade de expressar em termos de .

Passo 10

Vamos usar a propriedade que e é uma transformação linear que abrange todo o espaço . Assim, para cada , podemos escolher , já que os geram .

Passo 11

Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , o que implica que geram .

Resposta

(a) Se são linearmente independentes em , então são linearmente independentes em .
(b) Se e os vetores geram , então os vetores também geram .

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