(a) Mostre que se
são L.I. então
são L.I.
(b) Mostre que se
e os vetores
geram
então os vetores
geram
.
(b) Mostre que se
Passo 1
Olá! Vamos resolver o exercício que tem duas partes, (a) e (b). O conteúdo envolve Transformações Lineares, Independência Linear e Geração de Espaços Vetoriais. Precisamos usar conceitos de independência linear e como as transformações lineares afetam esses conceitos para demonstrar as afirmações dadas.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos entender o que significa que
são linearmente independentes em
. Isso quer dizer que a única combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero em
é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que isso implica que os vetores
são linearmente independentes em
. Ou seja, se
em
, então necessariamente
.
Passo 4
Vamos considerar a combinação linear
em
e aplicar a transformação linear
a ambos os lados. Como
é linear, temos:
Isso significa que a combinação linear de
também resulta no vetor zero em
.
Passo 5
Como sabemos que
são linearmente independentes, a única solução para
é
. Portanto, os coeficientes devem ser todos zero.
Passo 6
Isso demonstra que a única combinação linear dos vetores
que resulta no vetor zero em
é quando todos os coeficientes são zero. Portanto,
são linearmente independentes em
.
Passo 7
Parte (b)
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos que
e os vetores
geram
. Queremos mostrar que isso implica que
também geram
.
Passo 8
Gerar
significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores dados. Então, se
geram
, para qualquer vetor
, existe uma combinação linear:
para alguns escalares
.
Passo 9
Como
e
é uma transformação linear que mapeia
para
, podemos pensar na transformação inversa ou na possibilidade de expressar
em termos de
.
Passo 10
Vamos usar a propriedade que
e
é uma transformação linear que abrange todo o espaço
. Assim, para cada
, podemos escolher
, já que os
geram
.
Passo 11
Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
, o que implica que
geram
.
Resposta
(a) Se
são linearmente independentes em
, então
são linearmente independentes em
.
(b) Se
e os vetores
geram
, então os vetores
também geram
.