Determinar o valor de m para que seja de 30^circ circ ângulo entre os planos
pi1: 2 x+y+m z+4=0 e pi2: 3 x+4 y+5 z-2=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de pi1: 2x + y + mz + 4 = 0 e pi2: 3x + 4y + 5z - 2 = 0 que faz com que o ângulo entre os planos
seja de . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem ângulos entre planos.

Passo 2

Para encontrar o ângulo entre dois planos, precisamos primeiro identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma n1 = (2, 1, m) e n2 = (3, 4, 5) é .
Então, os vetores normais dos planos são:

Passo 3

O ângulo cos(theta) = n1 cdot n2|n1| cdot |n2| entre os dois planos é o mesmo que o ângulo entre os vetores normais e . A fórmula para calcular o cosseno desse ângulo é:
onde é o produto escalar dos vetores e representa o módulo do vetor .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = 2 cdot 3 + 1 cdot 4 + m cdot 5 = 6 + 4 + 5m = 10 + 5m :

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores |n1| = raiz2^2 + 1^2 + m^2 = raiz4 + 1 + m^2 = raiz5 + m^2 e |n2| = raiz3^2 + 4^2 + 5^2 = raiz9 + 16 + 25 = raiz50 = 5raiz2 :

Passo 6

Sabemos que o ângulo entre os planos é de cos(30^circ) = 10 + 5mraiz5 + m^2 cdot 5raiz2 , então:
raiz32 = 10 + 5m5raiz2 cdot raiz5 + m^2
Sabendo que , substituímos na equação:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
raiz32 = 10 + 5m5raiz2 cdot raiz5 + m^2
Multiplicando ambos os lados por raiz32 cdot 5raiz2 cdot raiz5 + m^2 = 10 + 5m :
5raiz62 cdot raiz5 + m^2 = 10 + 5m
Simplificando os coeficientes:
raiz62 cdot raiz5 + m^2 = 2 + m
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
raiz6 cdot raiz5 + m^2 = 4 + 2m
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
6(5 + m^2) = (4 + 2m)^2
Expandindo:
30 + 6m^2 = 16 + 16m + 4m^2

Passo 9

Reorganizando a equação para formar uma equação quadrática:
6m^2 - 4m^2 - 16m + 30 - 16 = 0
Simplificando:
2m^2 - 16m + 14 = 0
Dividindo todos os termos por 2:
m^2 - 8m + 7 = 0

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática m = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62 usando a fórmula de Bhaskara:
m = 8 + 62 = 7 ou m = 8 - 62 = 1
Assim, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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