Determinar o valor de
para que seja de
ângulo entre os planos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de
que faz com que o ângulo entre os planos
seja de
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem ângulos entre planos.
Passo 2
Para encontrar o ângulo entre dois planos, precisamos primeiro identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma
é
.
Então, os vetores normais dos planos são:
Passo 3
O ângulo
entre os dois planos é o mesmo que o ângulo entre os vetores normais
e
. A fórmula para calcular o cosseno desse ângulo é:
onde
é o produto escalar dos vetores e
representa o módulo do vetor
.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos os módulos dos vetores
e
:
Passo 6
Sabemos que o ângulo entre os planos é de
, então:
Sabendo que
, substituímos na equação:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo:
Passo 9
Reorganizando a equação para formar uma equação quadrática:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.