Dadas A=[ll3 & 1 5 & 2] e B=[ll4 & 7 1 & 2], determine: A^-1, B^-1 e (A B)^-1.

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes, e , e a missão é encontrar as inversas de cada uma delas ( e ) e também a inversa do produto dessas duas matrizes, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2 e lembrar que, para uma matriz ser inversível, o determinante dela precisa ser diferente de zero.

Passo 2

Vamos começar encontrando a inversa da matriz A = 3 & 1 5 & 2 . A matriz a & b c & d é:
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
A fórmula da inversa para uma matriz 2x2 det(A) = (3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1 é:
A^-1 = 11 2 & -1 -5 & 3 = 2 & -1 -5 & 3
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1 (diferente de zero), é inversível. Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 3

Agora, vamos achar a inversa da matriz B = 4 & 7 1 & 2 . A matriz B^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a é:
det(B) = (4)(2) - (7)(1) = 8 - 7 = 1
Usamos a mesma fórmula da inversa:
B^-1 = 11 2 & -7 -1 & 4 = 2 & -7 -1 & 4
Calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1, também é inversível. Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as matrizes AB = 3 & 1 5 & 2 times 4 & 7 1 & 2 e AB = (3)(4) + (1)(1) & (3)(7) + (1)(2) (5)(4) + (2)(1) & (5)(7) + (2)(2) = 12 + 1 & 21 + 2 20 + 2 & 35 + 4 = 13 & 23 22 & 39 para encontrar :
Fazendo a multiplicação:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de AB = 13 & 23 22 & 39 , ou seja, (AB)^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a . A matriz det(AB) = (13)(39) - (23)(22) = 507 - 506 = 1 é:
(AB)^-1 = 11 39 & -23 -22 & 13 = 39 & -23 -22 & 13
Aplicamos a fórmula da inversa 2x2:
Calculando o determinante de :
Como o determinante é 1, é inversível. Aplicando a fórmula:

Resposta

As inversas das matrizes são:
A^-1 = 2 & -1 -5 & 3 , B^-1 = 2 & -7 -1 & 4 , e (AB)^-1 = 39 & -23 -22 & 13

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