Se A=[ccc2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 1 & 2 & 1], encontrar M=A^3-2 A^2. Rpta.: 9 A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear onde temos uma matriz e precisamos calcular . Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como calcular as potências de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 1 & 2 & 1 , que é a matriz A^2 = 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 1 & 2 & 1 times 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 1 & 2 & 1 multiplicada por ela mesma. Lembre-se que, para multiplicar duas matrizes, a entrada na posição A^2 = 8 & 7 & 11 3 & 6 & 3 5 & 1 & 8 da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha da primeira matriz e da coluna da segunda matriz.
Então, temos:
Calculando :
Vamos calcular cada elemento de :
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Primeiro elemento (1,3):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
  • Segundo elemento (2,3):
  • Terceiro elemento (3,1):
  • Terceiro elemento (3,2):
  • Terceiro elemento (3,3):
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 1 & 2 & 1 times 8 & 7 & 11 3 & 6 & 3 5 & 1 & 8 . Usando a matriz A^3 = 34 & 23 & 49 15 & 3 & 24 19 & 20 & 25 e o que acabamos de calcular:
Calculando cada elemento de :
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Primeiro elemento (1,3):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
  • Segundo elemento (2,3):
  • Terceiro elemento (3,1):
  • Terceiro elemento (3,2):
  • Terceiro elemento (3,3):
Portanto,

Passo 4

Agora que temos 2A^2 = 2 times 8 & 7 & 11 3 & 6 & 3 5 & 1 & 8 = 16 & 14 & 22 6 & 12 & 6 10 & 2 & 16 e M = A^3 - 2A^2 = 34 & 23 & 49 15 & 3 & 24 19 & 20 & 25 - 16 & 14 & 22 6 & 12 & 6 10 & 2 & 16 = 34-16 & 23-14 & 49-22 15-6 & 3-12 & 24-6 19-10 & 20-2 & 25-16 = 18 & 9 & 27 9 & -9 & 18 9 & 18 & 9 , vamos calcular .

Primeiro, vamos multiplicar por 2:
[
2A^2 = 2 \times


]

Agora, subtraímos de :
[
M = A^3 - 2A^2 =


]

Passo 5

Observando a matriz resultante M = 9 times 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 1 & 2 & 1 = 9A , percebemos que cada elemento é múltiplo de 9:

Resposta

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