Suponhamos que $A^{2}=B^{2}=I, A B=B A=\left[\begin{array}{ccc}-5 & -8 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$ e $M=(A+B)^{2}$. Achar $\operatorname{tr}(M)$. Rpta. 4 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes, \( A \) e \( B \), que ao serem elevadas ao quadrado dão a matriz identidade \( I \). Além disso, \( A \) e \( B \) comutam, ou seja, \( AB = BA \), e temos uma matriz específica para \( AB \). A nossa missão é calcular a traça da matriz \( M = (A + B)^2 \). Para isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes, como a distributiva e a definição de traça.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão \( M = (A + B)^2 \). Lembrando que ao multiplicar matrizes, a distribuição funciona de forma similar à multiplicação de números. Então, temos:
\[
M = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2
\]
Passo 3
Sabemos que \( A^2 = I \) e \( B^2 = I \). Também sabemos que \( AB = BA \). Substituindo essas informações na expressão que encontramos:
\[
M = I + AB + BA + I = I + AB + AB + I = 2I + 2AB
\]
Passo 4
Agora, queremos encontrar a traça de \( M \), que é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz. A traça é uma função linear, então:
\[
\text{tr}(M) = \text{tr}(2I + 2AB) = 2\,\text{tr}(I) + 2\,\text{tr}(AB)
\]
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente. A traça da matriz identidade \( I \) de ordem 3 é 3, porque os elementos da diagonal são todos 1:
\[
\text{tr}(I) = 1 + 1 + 1 = 3
\]
Agora, precisamos calcular \( \text{tr}(AB) \). Já que \( AB \) é dada, podemos somar os elementos da diagonal principal dessa matriz:
\[
AB = \begin{bmatrix} -5 & -8 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}
\]
\[
\text{tr}(AB) = -5 + 5 + (-1) = -1
\]
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na expressão da traça de \( M \):
\[
\text{tr}(M) = 2 \times 3 + 2 \times (-1) = 6 - 2 = 4
\]
Resposta
A traça de \( M \) é igual a 4.