Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma matriz 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3 e nos pergunta qual das matrizes listadas diagonaliza a matriz . Isso envolve o estudo da diagonalização de matrizes, que é uma técnica para simplificar matrizes usando suas autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores e autovetores de e verificar qual das matrizes fornecidas pode servir como a matriz na fórmula , onde é uma matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda
Onde (3-lambda)[(2-lambda)(3-lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[ -1(3-lambda) - 0(-1) ] + 0 = 0 é a matriz identidade e (3-lambda)[(2-lambda)(3-lambda) - 1] + (1)(3-lambda) = 0 representa os autovalores. Calculando:
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar a matriz P = 1 & 1 1 & 0 1 & -1 , D = 2 & 0 0 & 3 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal 1 0 -1 com os autovalores na diagonal:
0 1 0
No entanto, observamos que P = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 é uma matriz , o que não é possível para diagonalizar uma matriz . Isso indica que precisamos de um terceiro autovetor para completar .
Na verdade, como tem multiplicidade 2, precisamos de outro autovetor para esse autovalor. Resolvendo novamente para , além de , podemos escolher outro vetor linearmente independente, como .
Assim, a matriz completa fica:
Passo 5
Agora, vamos verificar qual das matrizes fornecidas no enunciado corresponde à matriz 2 & 3 & 1 4 & 0 & -1 2 & -3 & 1 que encontramos. Comparando com as opções:
1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 1 & 4 & 1
1 & 3 & 1 2 & 0 & -1 1 & -3 & 2
2 & 1 & 1 4 & 0 & -1 2 & -3 & 1
2 & 1 & 1 -1 & 0 & -1 1 & -1 & 1
Nenhuma das matrizes fornecidas corresponde exatamente à nossa matriz . No entanto, podemos verificar se alguma delas é inversível e se, ao calcular , obtemos uma matriz diagonal.