Questão 2 (2 pontos) Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
b) T: P3(R) P3(R) em que T(p(x))=x p^prime(x).
T(Op)=Op cdot O=0
T(p(x)+q(x))=x(p(x)+q(y)=x(p^prime(x)^prime+q(x)^prime)=x p^prime(x)+x q^prime(x)=T(p x))+T(q(x)) T(m p(x))=x cdot(m cdot p^prime(x) /)=m(x cdot p^prime(p))=m cdot T(p(x))

Entoo it íat froms formacà lineas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e aplicar as condições necessárias para confirmar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são satisfeitas:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a adição. Seja T(p(x) + q(x)) = x cdot (p(x) + q(x))' = x cdot (p'(x) + q'(x)) = x cdot p'(x) + x cdot q'(x) = T(p(x)) + T(q(x)) e dois polinômios em . Calculamos :
Isso mostra que a condição de adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(m cdot p(x)) = x cdot (m cdot p(x))' = x cdot (m cdot p'(x)) = m cdot x cdot p'(x) = m cdot T(p(x)) um escalar e um polinômio em . Calculamos :
Isso mostra que a condição de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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