Considere
(a) Determine uma base de .
(b) Encontre um vetor que seja ortogonal a todo vetor de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata de encontrar uma base para o conjunto definido por duas equações lineares em e, depois, encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal a todo vetor de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares, espaços vetoriais, bases e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é definido como o conjunto de todos os vetores em que satisfazem as equações:
Essas são duas equações lineares com cinco incógnitas, o que significa que teremos um espaço vetorial com dimensão maior que zero.
Passo 3
Para encontrar uma base de , precisamos expressar algumas das variáveis em função das outras. Vamos escolher quais variáveis serão livres. Neste caso, podemos escolher , , e como variáveis livres.
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações para expressar e em termos de , , e .
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo :
Passo 5
Agora, podemos expressar qualquer vetor em como:
Isso pode ser separado em termos das variáveis livres , , e :
Passo 6
As combinações lineares acima mostram que os vetores , e são vetores que geram o espaço . Para verificar se eles formam uma base, precisamos garantir que são linearmente independentes.
Passo 7
Como estamos trabalhando com três vetores em um espaço que tem pelo menos dimensão 3 (devido às três variáveis livres), e eles não são combinações lineares uns dos outros, podemos concluir que eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Resposta
(a) Uma base de é formada pelos vetores:
(b) Um vetor não nulo que é ortogonal a todo vetor de W é u = (1, 2, -1, 1, 0).