Considere W=(x, y, z, w, t) in R^5 ; x-y+z=0, x+y+w=0
(a) Determine uma base de W.
(b) Encontre um vetor u neq 0 que seja ortogonal a todo vetor de W.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de encontrar uma base para o conjunto W definido por duas equações lineares em R^5 e, depois, encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal a todo vetor de W. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares, espaços vetoriais, bases e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto W. Ele é definido como o conjunto de todos os vetores (x, y, z, w, t) em R^5 que satisfazem as equações:
x - y + z = 0 x + y + w = 0
Essas são duas equações lineares com cinco incógnitas, o que significa que teremos um espaço vetorial com dimensão maior que zero.

Passo 3

Para encontrar uma base de W, precisamos expressar algumas das variáveis em função das outras. Vamos escolher quais variáveis serão livres. Neste caso, podemos escolher y, z, e t como variáveis livres.

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações para expressar x e w em termos de y, z, e t.
Da primeira equação:
x - y + z = 0 implies x = y - z
Da segunda equação:
x + y + w = 0
Substituindo x = y - z:
(y - z) + y + w = 0 implies 2y - z + w = 0 implies w = -2y + z

Passo 5

Agora, podemos expressar qualquer vetor (x, y, z, w, t) em W como:
(x, y, z, w, t) = (y - z, y, z, -2y + z, t)
Isso pode ser separado em termos das variáveis livres y, z, e t:
= y(1, 1, 0, -2, 0) + z(-1, 0, 1, 1, 0) + t(0, 0, 0, 0, 1)

Passo 6

As combinações lineares acima mostram que os vetores (1, 1, 0, -2, 0), (-1, 0, 1, 1, 0) e (0, 0, 0, 0, 1) são vetores que geram o espaço W. Para verificar se eles formam uma base, precisamos garantir que são linearmente independentes.

Passo 7

Como estamos trabalhando com três vetores em um espaço que tem pelo menos dimensão 3 (devido às três variáveis livres), e eles não são combinações lineares uns dos outros, podemos concluir que eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para W.

Resposta

(a) Uma base de W é formada pelos vetores:
1 1 0 -2 0 , -1 0 1 1 0 , 0 0 0 0 1
(b) Um vetor não nulo que é ortogonal a todo vetor de W é u = (1, 2, -1, 1, 0).

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