Questão 2 (2 pontos) Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
a)
em que
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que transforma funções suaves (com derivadas de todas as ordens) em outras funções suaves. Especificamente,
, onde
é a segunda derivada de
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Para verificar se
é uma transformação linear, precisamos checar se ela satisfaz essas duas propriedades.
Passo 2
A primeira propriedade que vamos verificar é a adição. Precisamos ver se
para quaisquer funções
e
. Vamos calcular cada lado dessa igualdade:
Sabemos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Agora, calculamos
:
Como
, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, que é a multiplicação por escalar. Precisamos checar se
para qualquer escalar
e função
. Vamos calcular cada lado:
A derivada de um escalar vezes uma função é o escalar vezes a derivada da função:
Agora, calculamos
:
Como
, a segunda propriedade também está satisfeita.
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.