Questão 2 (2 pontos) Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
a) T: C^infty(R) C^infty(R) em que T(f)=3 f^prime prime

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que transforma funções suaves (com derivadas de todas as ordens) em outras funções suaves. Especificamente, , onde é a segunda derivada de . O conteúdo que vamos usar aqui é o de transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Para verificar se é uma transformação linear, precisamos checar se ela satisfaz essas duas propriedades.

Passo 2

A primeira propriedade que vamos verificar é a adição. Precisamos ver se T(f + g) = 3(f + g)'' para quaisquer funções 3(f + g)'' = 3f'' + 3g'' e T(f) + T(g) = 3f'' + 3g'' . Vamos calcular cada lado dessa igualdade:
Sabemos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Agora, calculamos :
Como , a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, que é a multiplicação por escalar. Precisamos checar se T(a f) = 3(a f)'' para qualquer escalar 3(a f)'' = 3a f'' e função a T(f) = a cdot 3f'' = 3a f'' . Vamos calcular cada lado:
A derivada de um escalar vezes uma função é o escalar vezes a derivada da função:
Agora, calculamos :
Como , a segunda propriedade também está satisfeita.

Resposta

Sim, é uma transformação linear.

Exercícios relacionados