& (a+b)^3=(a+b) cdot(a+b) cdot(a+b)=(a+b)^2 cdot(a+b)=(a^2+2 a b+b^2) cdot(a+b)= = & a^2 cdot a+a^2 cdot b+2 a b cdot a+2 a b cdot b+b^2 cdot a+b^2 cdot b=a^3+a^2 b+2 a^2 b+2 a b^2+a b^2+b^3
Assim,
(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expandir a expressão . Isso está na área de álgebra, mais especificamente no desenvolvimento de potências de binômios. Para resolver isso, vamos usar a propriedade da multiplicação de expressões algébricas e entender como expandir potências de binômios passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (a + b)^3 = (a + b) cdot (a + b) cdot (a + b) significa multiplicar por ele mesmo três vezes:

Passo 3

Vamos começar multiplicando os dois primeiros termos (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 . Isso é conhecido como o quadrado de um binômio e pode ser expandido da seguinte forma:
(a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2) cdot (a + b)
Então, até agora temos:

Passo 4

Agora, precisamos multiplicar & a^2 cdot a + a^2 cdot b + 2ab cdot a + 2ab cdot b + b^2 cdot a + b^2 cdot b = & a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 por . Para isso, usamos a distribuição, multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes. Observamos que temos dois termos a^3 + (a^2b + 2a^2b) + (2ab^2 + ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 e dois termos :

Resposta

Portanto, a expansão de (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 é:

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