Observe as seguintes sentenças abaixo:
I. (3 a+2)^2=9 a^2+12 a+4
II. (2 x y-2 y z)^2=4 x^2 y^2-8 x y^2 z+4 y^2 z^2
III. (3 a+1) cdot(3 a-1)=9 a^2-1
IV. (2 a+1)^3=8 a^3+12 a^2+6 a+1
V. (2 b-2)^3=8 b^3-24 b^2+24 b-8
Logo, temos que:
A. I, Il e V estão erradas.
B. III, IV e V estão erradas.
C. Apenas IV e V estão corretas.
D. todas as sentenças estão erradas.
E. todas as sentenças estão certas.

Passo 1

Vamos analisar as cinco sentenças fornecidas para verificar quais estão corretas ou erradas. Para isso, vamos precisar utilizar o conteúdo de Álgebra, especificamente a expansão de potências e a multiplicação de binômios. Vamos revisar como expandir expressões como , e .

Passo 2

Começamos pela sentença I:
(3a + 2)^2
Para expandir um binômio ao quadrado, usamos a fórmula:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Aplicando isso:
(3a)^2 + 2 cdot 3a cdot 2 + 2^2 = 9a^2 + 12a + 4
Portanto, a sentença I está correta.

Passo 3

Agora, a sentença II:
(2xy - 2yz)^2
Usando a mesma fórmula de binômio ao quadrado:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Aplicando:
(2xy)^2 - 2 cdot 2xy cdot 2yz + (2yz)^2 = 4x^2y^2 - 8xy^2z + 4y^2z^2
Portanto, a sentença II está correta.

Passo 4

Vamos para a sentença III:
(3a + 1) cdot (3a - 1)
Utilizamos a fórmula do produto da soma pela diferença:
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Aplicando:
(3a)^2 - 1^2 = 9a^2 - 1
A sentença III está correta.

Passo 5

Analisemos a sentença IV:
(2a + 1)^3
Para expandir um binômio ao cubo, usamos:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Aplicando:
(2a)^3 + 3 cdot (2a)^2 cdot 1 + 3 cdot 2a cdot 1^2 + 1^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1
A sentença IV está correta.

Passo 6

Finalmente, a sentença V:
(2b - 2)^3
Usamos a mesma fórmula do cubo:
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Aplicando:
(2b)^3 - 3 cdot (2b)^2 cdot 2 + 3 cdot 2b cdot 2^2 - 2^3 = 8b^3 - 24b^2 + 24b - 8
A sentença V está correta.

Resposta

A opção correta é E. todas as sentenças estão certas.

Exercícios relacionados

Desenvolva o produto notável (a b+3)^2, obtemos:
A. a^2 b^2+3 a b+9
B. a^2 b^2+9 a b+6
C. a^2 b^2+2 a b+6
D. a^2 b^2+6 a b+9
E. a^2 b^2+2 a b+9
Multiplicando os binômios (2+y) cdot(2-y), obtemos:
A. o trinômio 4+y+y^2.
B. o binômio 4+y^2.
C. o binômio 2-y^2.
D. o binômio 4-y^2.
E. o trinômio 4-y+y^2.
& (a+b)^3=(a+b) cdot(a+b) cdot(a+b)=(a+b)^2 cdot(a+b)=(a^2+2 a b+b^2) cdot(a+b)= = & a^2 cdot a+a^2 cdot b+2 a b cdot a+2 a b cdot b+b^2 cdot a+b^2 cdot b=a^3+a^2 b+2 a^2 b+2 a b^2+a b^2+b^3
Assim,
(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3
Desenvolva o produto notável (a+3)^3, obtemos:
A. a^3+6 a^2+9 a+27
B. a^3+9 a^2+27 a+27
C. a^3+3 a^2+6 a+27
D. a^3+3 a^2+6 a+9
E. a^3+3 a^2+3 a+27