(6) Se z=x^2 cdot arctg(yx)-y^2 cdot arctg(xy), mostre que: partial^2 zpartial x partial y=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que depende de e , e pede para mostrarmos que a segunda derivada mista de em relação a e é igual a .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com derivadas parciais, especificamente derivadas mistas. Precisamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
O que vamos precisar: Entender como derivar funções que envolvem produtos e funções compostas, como a função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função dada:
z = x^2 cdot arctg(yx) - y^2 cdot arctg(xy)
Nosso objetivo é encontrar .
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar partial zpartial x = partialpartial x( x^2 cdot arctg(yx) ) - partialpartial x( y^2 cdot arctg(xy) ) em relação a . Usamos a regra do produto para cada termo:
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Derivando o primeiro termo:
partialpartial x( x^2 cdot arctg(yx) ) = 2x cdot arctg(yx) + x^2 cdot partialpartial x arctg(yx)
Agora, vamos derivar em relação a .

Passo 5

A derivada de partialpartial x arctg(yx) = 11 + (yx)^2 cdot ( -yx^2 ) = -yx^2 + y^2 em relação a 2x cdot arctg(yx) - x^2 yx^2 + y^2 é . Usando a regra da cadeia:
Então, o primeiro termo derivado fica:

Passo 6

Agora, vamos derivar o segundo termo de partialpartial x( y^2 cdot arctg(xy) ) = y^2 cdot partialpartial x arctg(xy) :
partialpartial x arctg(xy) = 11 + (xy)^2 cdot 1y = yx^2 + y^2
Derivando y^2 cdot yx^2 + y^2 = y^3x^2 + y^2 em relação a :
Então, o segundo termo derivado fica:

Passo 7

Agora, juntando os dois termos derivados:
partial zpartial x = 2x cdot arctg(yx) - x^2 yx^2 + y^2 - y^3x^2 + y^2
Simplificando os termos fracionários:
partial zpartial x = 2x cdot arctg(yx) - y (x^2 + y^2)x^2 + y^2 = 2x cdot arctg(yx) - y

Passo 8

Agora, vamos derivar partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y ( 2x cdot arctg(yx) - y ) em relação a para encontrar :
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 9

Derivando o primeiro termo:
partialpartial y ( 2x cdot arctg(yx) ) = 2x cdot partialpartial y arctg(yx)
Usando a regra da cadeia:
partialpartial y arctg(yx) = 11 + (yx)^2 cdot 1x = xx^2 + y^2
Então, o primeiro termo derivado fica:
2x cdot xx^2 + y^2 = 2x^2x^2 + y^2

Passo 10

Derivando o segundo termo:
partialpartial y (-y) = -1

Passo 11

Agora, juntando os dois resultados:
partial^2 zpartial x partial y = 2x^2x^2 + y^2 - 1 = 2x^2 - (x^2 + y^2)x^2 + y^2 = x^2 - y^2x^2 + y^2

Resposta

partial^2 zpartial x partial y = x^2 - y^2x^2 + y^2

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