(6) Se
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função
que depende de
e
, e pede para mostrarmos que a segunda derivada mista de
em relação a
e
é igual a
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com derivadas parciais, especificamente derivadas mistas. Precisamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
O que vamos precisar: Entender como derivar funções que envolvem produtos e funções compostas, como a função arco-tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função dada:
Nosso objetivo é encontrar
.
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do produto para cada termo:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Derivando o primeiro termo:
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é
. Usando a regra da cadeia:
Então, o primeiro termo derivado fica:
Passo 6
Agora, vamos derivar o segundo termo de
:
Derivando
em relação a
:
Então, o segundo termo derivado fica:
Passo 7
Agora, juntando os dois termos derivados:
Simplificando os termos fracionários:
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 9
Derivando o primeiro termo:
Usando a regra da cadeia:
Então, o primeiro termo derivado fica:
Passo 10
Derivando o segundo termo:
Passo 11
Agora, juntando os dois resultados: