Considere o campo vetorial no espaço tridimensional dado por:
Para calcular
é necessário parametrizar a curva C em questão.
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
com , qual será o valor correto obtido por meio do cálculo da integral , considerando o campo e a curva apresentados?
Dados: fórmulas
- Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial no espaço tridimensional, dado por . A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da curva , que está parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma do produto do campo vetorial com o diferencial de posição ao longo da curva . Para fazer isso, precisamos parametrizar a curva, o que já está feito com , e encontrar a derivada .
Passo 3
Vamos calcular a derivada da parametrização . Temos:
Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização no campo vetorial :
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica bem mais simples:
Vamos calcular essa integral:
Passo 7
Vamos aproximar o valor numérico de . Sabemos que , então:
Resposta
Nenhuma das opções apresentadas está correta. O valor correto da integral é aproximadamente .