Considere o campo vetorial no espaço tridimensional dado por:
F(x, y, z)=x i+y j+z k
Para calcular
A=integralC F cdot d r
é necessário parametrizar a curva C em questão.
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
r(t)=cos (t) i+sen(t) j+t k
com 0 <= t <= 2 pi(2^* pi), qual será o valor correto obtido por meio do cálculo da integral A, considerando o campo e a curva apresentados?
Dados: fórmulas

- Integrais de linha

r(t)=x(t) i+y(t) j, t in[a, b] integralC f(x, y) d s=integrala^b f(r(t))|r^prime(t)| d t=integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2 d t r(t)=x(t) i+y(t) j, t in[a, b] integralC F cdot d r=integralC F(r(t)) cdot r^prime(t) d t
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial no espaço tridimensional, dado por . A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da curva , que está parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma do produto do campo vetorial com o diferencial de posição ao longo da curva . Para fazer isso, precisamos parametrizar a curva, o que já está feito com , e encontrar a derivada .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da parametrização r(t) = cos(t) i + sen(t) j + t k . Temos:
Derivando em relação a r'(t) = -sen(t) i + cos(t) j + k :

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização F(r(t)) = cos(t) i + sen(t) j + t k no campo vetorial :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = cos(t) cdot (-sen(t)) + sen(t) cdot cos(t) + t cdot 1 :
Simplificando:

Passo 6

Agora, a integral de linha A = integral0^4pi t , dt fica bem mais simples:
A = [ t^22 ]0^4pi = (4pi)^22 - 0^22 = 16pi^22 = 8pi^2
Vamos calcular essa integral:

Passo 7

Vamos aproximar o valor numérico de 8pi^2 approx 8 times (3,1416)^2 approx 8 times 9,8696 approx 78,9568 . Sabemos que , então:

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas está correta. O valor correto da integral é aproximadamente .

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