Considere o campo vetorial no espaço tridimensional dado por:
Para calcular
é necessário parametrizar a curva C em questão.
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
com , qual será o valor correto obtido por meio do cálculo da integral , considerando o campo e a curva apresentados?
Dados: fórmulas

- Integrais de linha

*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial no espaço tridimensional, dado por . A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da curva , que está parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma do produto do campo vetorial com o diferencial de posição ao longo da curva . Para fazer isso, precisamos parametrizar a curva, o que já está feito com , e encontrar a derivada .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da parametrização . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização no campo vetorial :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, a integral de linha fica bem mais simples:
Vamos calcular essa integral:

Passo 7

Vamos aproximar o valor numérico de . Sabemos que , então:

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas está correta. O valor correto da integral é aproximadamente .

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Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica.
(i)
Considere a superfície definida por
em que e .
Para calcular a integral de superfície
podemos associá-la a uma integral dupla adequada relativa aos parâmetros u e v da superfície S .
Sendo , assinale a alternativa que indica a associação correta entre a integral de superfície e a integral dupla correspondente que pode ser empregada em seu cálculo:
Dados: fórmulas
  • Integrais de superfície
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
B)
A integral de superfície pode ser calculada por
C)
A integral de superfície pode ser calculada por
D)
A integral de superfície pode ser calculada por
E)
A integral de superfície pode ser calculada por
(6) Se , mostre que:
(3) e . Encontrar: e .