A cdot B=B cdot A

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. A equação A cdot B = B cdot A afirma que o produto escalar entre dois vetores A e B é igual se invertermos a ordem dos vetores. Nós vamos precisar conhecer o conceito de produto escalar e suas propriedades para resolver isso.

Passo 2

O produto escalar, também conhecido como produto interno, entre dois vetores A e B é calculado pela fórmula:
A cdot B = |A| , |B| cos(theta)
onde |A| e |B| são os módulos (ou magnitudes) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular A cdot B usando a fórmula:
A cdot B = |A| , |B| cos(theta)

Passo 4

Agora, vamos calcular B cdot A também usando a mesma fórmula:
B cdot A = |B| , |A| cos(theta)

Passo 5

Observamos que na segunda expressão, os termos |B| e |A| estão apenas trocados de lugar. Mas como a multiplicação é comutativa (ou seja, a times b = b times a), não faz diferença a ordem desses fatores.

Passo 6

Além disso, o ângulo theta entre os vetores permanece o mesmo se invertermos a ordem dos vetores. Portanto, cos(theta) não muda.

Passo 7

Assim, temos que:
|A| , |B| cos(theta) = |B| , |A| cos(theta)
o que confirma que:
A cdot B = B cdot A

Resposta

Portanto, demonstramos que o produto escalar entre dois vetores é comutativo, ou seja, A cdot B = B cdot A.

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