Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. A equação
afirma que o produto escalar entre dois vetores
e
é igual se invertermos a ordem dos vetores. Nós vamos precisar conhecer o conceito de produto escalar e suas propriedades para resolver isso.
Passo 2
O produto escalar, também conhecido como produto interno, entre dois vetores
e
é calculado pela fórmula:
onde
e
são os módulos (ou magnitudes) dos vetores, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos calcular
usando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular
também usando a mesma fórmula:
Passo 5
Observamos que na segunda expressão, os termos
e
estão apenas trocados de lugar. Mas como a multiplicação é comutativa (ou seja,
), não faz diferença a ordem desses fatores.
Passo 6
Além disso, o ângulo
entre os vetores permanece o mesmo se invertermos a ordem dos vetores. Portanto,
não muda.
Passo 7
Assim, temos que:
o que confirma que:
Resposta
Portanto, demonstramos que o produto escalar entre dois vetores é comutativo, ou seja,
.