Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar a propriedade do produto escalar entre dois vetores
e
. Esse conceito está dentro da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar saber o que é produto escalar, norma de um vetor e como calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
é uma operação que resulta em um número (escalar) e é definido pela soma das multiplicações de suas componentes correspondentes. Se
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da norma de um vetor. A norma de um vetor
, representada por
, é o comprimento ou magnitude do vetor, calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
Passo 4
Também precisamos entender como calcular o ângulo entre dois vetores. O ângulo
entre os vetores
e
pode ser encontrado usando a relação que envolve o produto escalar e as normas dos vetores:
Essa fórmula nos mostra como o produto escalar está relacionado ao ângulo entre os vetores.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar essa última equação para expressar o produto escalar em termos das normas dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles. Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Resposta
Pronto! Demonstramos que o produto escalar entre os vetores
e
é igual ao produto das normas desses vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles: