Faça a demostração das propriedades: A cdot B=|A| cdot|B| cos (alphaA B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar a propriedade do produto escalar entre dois vetores A e B. Esse conceito está dentro da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar saber o que é produto escalar, norma de um vetor e como calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores A e B é uma operação que resulta em um número (escalar) e é definido pela soma das multiplicações de suas componentes correspondentes. Se A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz), então:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Passo 3

Agora, vamos lembrar da norma de um vetor. A norma de um vetor A, representada por |A|, é o comprimento ou magnitude do vetor, calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
|A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2

Passo 4

Também precisamos entender como calcular o ângulo entre dois vetores. O ângulo alphaAB entre os vetores A e B pode ser encontrado usando a relação que envolve o produto escalar e as normas dos vetores:
cos(alphaAB) = A cdot B|A| cdot |B|
Essa fórmula nos mostra como o produto escalar está relacionado ao ângulo entre os vetores.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar essa última equação para expressar o produto escalar em termos das normas dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles. Multiplicando ambos os lados da equação por |A| cdot |B|, temos:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(alphaAB)

Resposta

Pronto! Demonstramos que o produto escalar entre os vetores A e B é igual ao produto das normas desses vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles:
A cdot B = |A| cdot |B| cos (alphaA B)

Exercícios relacionados