Seja [T] um operador linear em R^3 e a matriz de T com respeito a base canônica é dada por [T]C=
[ccc2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3]
(b) Ache [T]B, onde B=(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1). O que você observou?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz do operador linear na base . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar das matrizes de mudança de base e entender como transformar a matriz de da base canônica para a base .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de P = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 para a base canônica, que chamaremos de . A base é formada pelos vetores , e . Então, montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de P^-1 = 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 , ou seja, . Vamos calcular a inversa de :

Passo 4

Com [T]B = P^-1 [T]C P e em mãos, podemos encontrar a matriz de na base usando a fórmula de mudança de base:
Vamos multiplicar as matrizes nessa ordem.

Passo 5

Primeiro, calculamos [T]C P = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 = 2 cdot 0 + 0 cdot 1 + 1 cdot 1 & 2 cdot 0 + 0 cdot (-1) + 1 cdot 1 & 2 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 0 cdot 0 + (-3) cdot 1 + 1 cdot 1 & 0 cdot 0 + (-3) cdot (-1) + 1 cdot 1 & 0 cdot 1 + (-3) cdot 0 + 1 cdot 1 0 cdot 0 + 0 cdot 1 + (-3) cdot 1 & 0 cdot 0 + 0 cdot (-1) + (-3) cdot 1 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-3) cdot 1 = 1 & 1 & 3 -2 & 4 & 1 -3 & -3 & -3 :

Passo 6

Agora, multiplicamos [T]B = P^-1 [T]C P = 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 1 & 3 -2 & 4 & 1 -3 & -3 & -3 pelo resultado anterior para obter [T]B = 1 cdot 1 + 0 cdot (-2) + (-1) cdot (-3) & 1 cdot 1 + 0 cdot 4 + (-1) cdot (-3) & 1 cdot 3 + 0 cdot 1 + (-1) cdot (-3) 1 cdot 1 + (-1) cdot (-2) + 1 cdot (-3) & 1 cdot 1 + (-1) cdot 4 + 1 cdot (-3) & 1 cdot 3 + (-1) cdot 1 + 1 cdot (-3) -1 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 0 cdot (-3) & -1 cdot 1 + 1 cdot 4 + 0 cdot (-3) & -1 cdot 3 + 1 cdot 1 + 0 cdot (-3) = 1 + 0 + 3 & 1 + 0 + 3 & 3 + 0 + 3 1 + 2 - 3 & 1 - 4 - 3 & 3 - 1 - 3 -1 - 2 + 0 & -1 + 4 + 0 & -3 + 1 + 0 = 4 & 4 & 6 0 & -6 & -1 -3 & 3 & -2 :
Vamos multiplicar as matrizes:

Resposta

A matriz do operador linear [T]B = 4 & 4 & 6 0 & -6 & -1 -3 & 3 & -2 na base é:
Observação: A matriz tem uma estrutura diferente da matriz original , o que mostra como a representação de um operador linear pode variar conforme a base escolhida. Isso destaca a importância da escolha da base na simplificação de problemas e na interpretação das transformações lineares.

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