Seja um operador linear em e a matriz de com respeito a base canônica é dada por
(b) Ache [T]B, onde B=(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1). O que você observou?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz do operador linear na base . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar das matrizes de mudança de base e entender como transformar a matriz de da base canônica para a base .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de P = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 para a base canônica, que chamaremos de . A base é formada pelos vetores , e . Então, montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de P^-1 = 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 , ou seja, . Vamos calcular a inversa de :
Passo 4
Com [T]B = P^-1 [T]C P e em mãos, podemos encontrar a matriz de na base usando a fórmula de mudança de base:
A matriz do operador linear [T]B = 4 & 4 & 6 0 & -6 & -1 -3 & 3 & -2 na base é:
Observação: A matriz tem uma estrutura diferente da matriz original , o que mostra como a representação de um operador linear pode variar conforme a base escolhida. Isso destaca a importância da escolha da base na simplificação de problemas e na interpretação das transformações lineares.