Encontrar a tangente do ângulo que o vetor
faz com o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a tangente do ângulo que o vetor
forma com o eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, especialmente como calcular o ângulo entre um vetor e um dos eixos coordenados. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas de produtos vetoriais e normais de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o ângulo entre um vetor e o eixo
. Imagine o eixo
como um vetor unitário longo, que a gente pode chamar de
. O ângulo entre
e
nos dá uma ideia de quão “inclinado” está o vetor
em relação ao eixo
.
Passo 3
Para encontrar esse ângulo, vamos usar o produto escalar (ou produto interno) entre os dois vetores. A fórmula do produto escalar é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as magnitudes (ou normas) dos vetores. -
é o ângulo entre eles.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
. Como
,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude de
. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso:
E a magnitude de
é 1, porque é um vetor unitário.
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar:
Isso simplifica para:
Passo 7
Para encontrar a tangente do ângulo, precisamos primeiro achar
. Vamos calcular o arco cosseno:
Usando uma calculadora, encontramos:
Agora, calculamos a tangente desse ângulo:
Resposta
A tangente do ângulo que o vetor
faz com o eixo
é aproximadamente
.