Encontrar a tangente do ângulo que o vetor v=4 i+2 j-4 k faz com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a tangente do ângulo que o vetor v = 4 i + 2 j - 4 k forma com o eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, especialmente como calcular o ângulo entre um vetor e um dos eixos coordenados. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas de produtos vetoriais e normais de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o ângulo entre um vetor e o eixo x. Imagine o eixo x como um vetor unitário longo, que a gente pode chamar de i = 1i + 0j + 0k. O ângulo entre v e i nos dá uma ideia de quão “inclinado” está o vetor v em relação ao eixo x.

Passo 3

Para encontrar esse ângulo, vamos usar o produto escalar (ou produto interno) entre os dois vetores. A fórmula do produto escalar é:
v cdot i = |v| cdot |i| cdot cos(theta)
Onde:
  • v cdot i é o produto escalar dos vetores.
  • |v| e |i| são as magnitudes (ou normas) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot i. Como i = 1i + 0j + 0k,
v cdot i = (4)(1) + (2)(0) + (-4)(0) = 4

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude de v. A fórmula para a magnitude de um vetor v = ai + bj + ck é:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso:
|v| = raiz4^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6
E a magnitude de i é 1, porque é um vetor unitário.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar:
4 = 6 cdot 1 cdot cos(theta)
Isso simplifica para:
cos(theta) = 46 = 23

Passo 7

Para encontrar a tangente do ângulo, precisamos primeiro achar theta. Vamos calcular o arco cosseno:
theta = cos^-1(23)
Usando uma calculadora, encontramos:
theta approx 48.19^circ
Agora, calculamos a tangente desse ângulo:
tan(theta) = tan(48.19^circ) approx 1.11

Resposta

A tangente do ângulo que o vetor v faz com o eixo x é aproximadamente 1.11.

Exercícios relacionados