Determine a tal que v=a i-5 j+2 k e u=3 i+1 j-a k sejam perpendiculares.

Passo 1

Vamos resolver o problema de determinar o valor de tal que os vetores e sejam perpendiculares. Para isso, vamos utilizar o conceito de produto escalar de vetores, que é fundamental para verificar a perpendicularidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores v cdot u = vx cdot ux + vy cdot uy + vz cdot uz e é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes de cada vetor:
v = a i - 5 j + 2 k Rightarrow vx = a, vy = -5, vz = 2
u = 3 i + 1 j - a k Rightarrow ux = 3, uy = 1, uz = -a

Passo 4

Substituindo as componentes no produto escalar:
v cdot u = (a) cdot (3) + (-5) cdot (1) + (2) cdot (-a)
Simplificando:
v cdot u = 3a - 5 - 2a

Passo 5

Como queremos que os vetores sejam perpendiculares, o produto escalar deve ser igual a zero:
3a - 5 - 2a = 0
Simplificando a equação:
a - 5 = 0

Passo 6

Resolvendo para a = 5 :

Resposta

O valor de que torna os vetores e perpendiculares é .

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