(5) Encontre as derivadas parciais: para partial^3 fpartial x^2 partial z e partial^3 fpartial x partial y partial z .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
f(x, y, z) = arctan(3xyz)
O objetivo é encontrar duas derivadas parciais de terceira ordem dessa função:
  1. partial^3 fpartial x^2 partial z
  2. partial^3 fpartial x partial y partial z
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e as derivadas parciais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de f(x, y, z) = arctan(u) onde u = 3xyz em relação a partial fpartial x = 11 + u^2 cdot partial upartial x .
Sabemos que:
partial upartial x = 3yz
Para derivar partial fpartial x = 3yz1 + (3xyz)^2 em relação a , usamos a regra da cadeia:
Calculando :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos derivar partial fpartial x = 3yz1 + 9x^2y^2z^2 novamente em relação a partial^2 fpartial x^2 = ddx(3yz1 + 9x^2y^2z^2) = 0 cdot (1 + 9x^2y^2z^2) - 3yz cdot 18xyz^2y(1 + 9x^2y^2z^2)^2 para encontrar partial^2 fpartial x^2 = -54x y^3 z^3(1 + 9x^2y^2z^2)^2 .
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar partial^2 fpartial x^2 = -54x y^3 z^3(1 + 9x^2y^2z^2)^2 em relação a partial^3 fpartial x^2 partial z = -54x y^3 cdot 3z^2 cdot (1 + 9x^2y^2z^2)^2 - (-54x y^3 z^3) cdot 2 cdot (1 + 9x^2y^2z^2) cdot 18x^2y^2z(1 + 9x^2y^2z^2)^4 para encontrar partial^3 fpartial x^2 partial z = -162x y^3 z^2 (1 + 9x^2y^2z^2) + 1944x^3 y^5 z^4(1 + 9x^2y^2z^2)^3 .
Temos:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y, z) = arctan(3xyz) em relação a partial fpartial y = 11 + (3xyz)^2 cdot partial upartial y = 3xz1 + 9x^2y^2z^2 .
Começamos com:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Em seguida, derivamos partial fpartial y = 3xz1 + 9x^2y^2z^2 em relação a partial^2 fpartial y partial z = 3x(1 + 9x^2y^2z^2) - 3xz cdot 18x^2y^2z(1 + 9x^2y^2z^2)^2 :
partial^2 fpartial y partial z = 3x - 54x^3y^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^2
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, derivamos partial^2 fpartial y partial z = 3x - 54x^3y^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^2 em relação a partial^3 fpartial x partial y partial z = 3 - 162x^2y^2z^2)(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - (3x - 54x^3y^2z^2) cdot 2(1 + 9x^2y^2z^2) cdot 18xy^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^4 para encontrar partial^3 fpartial x partial y partial z = 3(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - 162x^2y^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - 108xy^2z^2(3x - 54x^3y^2z^2)(1 + 9x^2y^2z^2)(1 + 9x^2y^2z^2)^3 .
Temos:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:

Resposta

As derivadas parciais de terceira ordem são:
partial^3 fpartial x^2 partial z = -162x y^3 z^2 (1 + 9x^2y^2z^2) + 1944x^3 y^5 z^4(1 + 9x^2y^2z^2)^3
e
partial^3 fpartial x partial y partial z = 3(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - 162x^2y^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - 108xy^2z^2(3x - 54x^3y^2z^2)(1 + 9x^2y^2z^2)(1 + 9x^2y^2z^2)^3

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