(5) Encontre as derivadas parciais: para .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
O objetivo é encontrar duas derivadas parciais de terceira ordem dessa função:
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e as derivadas parciais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a .
Sabemos que:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Calculando :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar .
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a para encontrar .
Temos:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a .
Começamos com:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Em seguida, derivamos em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a para encontrar .
Temos:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:

Resposta

As derivadas parciais de terceira ordem são:
e

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Seja
(b) Use a definição para calcular e .
Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de e antes de diferenciar. (1) . Encontrar: e .
(4) e . Encontrar: e .