(5) Encontre as derivadas parciais: para
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
O objetivo é encontrar duas derivadas parciais de terceira ordem dessa função:
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e as derivadas parciais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Sabemos que:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Calculando
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
.
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
.
Começamos com:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Resposta
As derivadas parciais de terceira ordem são:
e
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Uma indústria vai produzir 10.000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3 cm , 4 cm e 5 cm . O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por
. Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de
em cada dimensão, encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão.
Seja
(b) Use a definição para calcular e
.
(b) Use a definição para calcular
Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de
e
antes de diferenciar. (1)
. Encontrar:
e
.
(4)
e
. Encontrar:
e
.