(5) Encontre as derivadas parciais: para
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
O objetivo é encontrar duas derivadas parciais de terceira ordem dessa função:
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e as derivadas parciais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Sabemos que:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Calculando
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
.
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
.
Começamos com:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Resposta
As derivadas parciais de terceira ordem são:
e