cdotPC Um balão de ar quente permanece flutuando porque o ar quente na pressão atmosférica é menos denso que o ar mais frio na mesma pressão. Se o volume do balão for igual a 500,0 m^3 e o ar nas vizinhanças estiver a 15,0^circ C, qual deverá ser a temperatura do ar no balão para que ele levante uma carga total de 290 kg (além da massa do ar quente)? A densidade do ar a 15,0^circ C e a pressão atmosférica é igual a 1,23 kg / m^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um balão de ar quente com um volume de 500,0 , m^3. O ar ao redor está a 15,0^circ C e tem uma densidade de 1,23 , kg/m^3. Queremos descobrir qual deve ser a temperatura do ar dentro do balão para que ele consiga levantar uma carga adicional de 290 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Densidade e a Lei dos Gases Ideais.

Passo 2

Vamos calcular a massa do ar que o balão desloca no ar frio. A densidade ( rho) é a massa por unidade de volume, então:
Massa do ar frio = rhofrio times V = 1,23 , kg/m^3 times 500,0 , m^3 = 615 , kg

Passo 3

Para levantar uma carga de 290 kg além da massa do ar quente, a massa do ar quente dentro do balão deve ser menor. Então, a massa do ar quente ( mquente) será:
mquente = Massa do ar frio - Carga adicional = 615 , kg - 290 , kg = 325 , kg

Passo 4

Agora, vamos encontrar a densidade do ar quente. Sabemos que:
rhoquente = mquenteV = 325 , kg500,0 , m^3 = 0,65 , kg/m^3

Passo 5

Para relacionar a densidade e a temperatura, usamos a Lei dos Gases Ideais, que pode ser rearranjada para mostrar que a densidade é inversamente proporcional à temperatura absoluta (em Kelvin) quando a pressão é constante:
rho propto 1T
Portanto:
rhoquenterhofrio = TfrioTquente

Passo 6

Rearranjando a equação para resolver Tquente:
Tquente = Tfrio times rhofriorhoquente
Precisamos converter a temperatura fria para Kelvin:
Tfrio = 15,0^circ C + 273,15 = 288,15 , K

Passo 7

Substituindo os valores:
Tquente = 288,15 , K times 1,23 , kg/m^30,65 , kg/m^3 approx 288,15 , K times 1,89 approx 544,3 , K
Convertendo de Kelvin para Celsius:
Tquente = 544,3 , K - 273,15 approx 271,2^circ C

Resposta

A temperatura do ar no balão deve ser aproximadamente 271,2^circ C para levantar uma carga total de 290 kg.

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