*Um cilindro com paredes rígidas contém gás hélio. Se a pressão do gás for igual a 2,00 atm, a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é vmqq=176 m / s. De quanto (em atmosferas) a pressão deverá ser aumentada para elevar a v rmq dos átomos de He em 100 m / s ? Ignore qualquer variação no volume do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro fechado com gás hélio. A pressão inicial do gás é de 2,00 atm e a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é vmqq = 176 m/s. A pergunta é: quanto a gente precisa aumentar essa pressão para que a velocidade quadrática média dos átomos de hélio aumente 100 m/s? Vamos precisar usar conceitos de cinética dos gases para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade quadrática média ( vmqq). Na cinética dos gases, essa velocidade está relacionada à energia térmica das partículas. A fórmula que liga a velocidade quadrática média à temperatura é:
vmqq = raiz3kBTm
onde:
  • kB é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura,
  • m é a massa de uma molécula de hélio.
Como o cilindro tem paredes rígidas, o volume ( V) não muda. Sabemos que a pressão ( P) está relacionada à temperatura pela equação dos gases ideais:
P = n kB TV
onde n é o número de moléculas.

Passo 3

Vamos relacionar as duas equações. Observamos que a temperatura T está presente em ambas. Podemos isolar T na primeira equação:
T = m vmqq^23kB
Substituindo isso na equação da pressão:
P = n kBV cdot m vmqq^23kB = n m vmqq^23V
Então, fica claro que a pressão é proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média:
P propto vmqq^2

Passo 4

Como a pressão é proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média, podemos escrever a relação entre as pressões e velocidades iniciais e finais assim:
P2P1 = (vmqq2vmqq1)^2
Queremos encontrar o aumento na pressão, ou seja, De.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos:
  • P1 = 2,00 atm
  • vmqq1 = 176 m/s
  • vmqq2 = 176 m/s + 100 m/s = 276 m/s
Primeiro, calculamos a razão das velocidades ao quadrado:
(276176)^2 = (276176)^2 approx (1,568)^2 approx 2,461
Então,
P22,00 = 2,461 P2 = 2,00 times 2,461 = 4,922 atm

Passo 6

Finalmente, o aumento na pressão é:
De

Resposta

A pressão precisa ser aumentada em aproximadamente 2,92 atm.

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