*Um cilindro com paredes rígidas contém gás hélio. Se a pressão do gás for igual a , a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é . De quanto (em atmosferas) a pressão deverá ser aumentada para elevar a dos átomos de He em ? Ignore qualquer variação no volume do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro fechado com gás hélio. A pressão inicial do gás é de e a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é . A pergunta é: quanto a gente precisa aumentar essa pressão para que a velocidade quadrática média dos átomos de hélio aumente ? Vamos precisar usar conceitos de cinética dos gases para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade quadrática média ( ). Na cinética dos gases, essa velocidade está relacionada à energia térmica das partículas. A fórmula que liga a velocidade quadrática média à temperatura é:
onde:
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura,
  • é a massa de uma molécula de hélio.
Como o cilindro tem paredes rígidas, o volume ( ) não muda. Sabemos que a pressão ( ) está relacionada à temperatura pela equação dos gases ideais:
onde é o número de moléculas.

Passo 3

Vamos relacionar as duas equações. Observamos que a temperatura está presente em ambas. Podemos isolar na primeira equação:
Substituindo isso na equação da pressão:
Então, fica claro que a pressão é proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média:

Passo 4

Como a pressão é proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média, podemos escrever a relação entre as pressões e velocidades iniciais e finais assim:
Queremos encontrar o aumento na pressão, ou seja, .

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos:
Primeiro, calculamos a razão das velocidades ao quadrado:
Então,

Passo 6

Finalmente, o aumento na pressão é:

Resposta

A pressão precisa ser aumentada em aproximadamente .

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