*Um cilindro com paredes rígidas contém gás hélio. Se a pressão do gás for igual a
, a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é
. De quanto (em atmosferas) a pressão deverá ser aumentada para elevar a
dos átomos de He em
? Ignore qualquer variação no volume do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro fechado com gás hélio. A pressão inicial do gás é de
e a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é
. A pergunta é: quanto a gente precisa aumentar essa pressão para que a velocidade quadrática média dos átomos de hélio aumente
? Vamos precisar usar conceitos de cinética dos gases para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a velocidade quadrática média (
). Na cinética dos gases, essa velocidade está relacionada à energia térmica das partículas. A fórmula que liga a velocidade quadrática média à temperatura é:
onde:
-
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura, -
é a massa de uma molécula de hélio.
Como o cilindro tem paredes rígidas, o volume (
) não muda. Sabemos que a pressão (
) está relacionada à temperatura pela equação dos gases ideais:
onde
é o número de moléculas.
Passo 3
Vamos relacionar as duas equações. Observamos que a temperatura
está presente em ambas. Podemos isolar
na primeira equação:
Substituindo isso na equação da pressão:
Então, fica claro que a pressão é proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média:
Passo 4
Como a pressão é proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média, podemos escrever a relação entre as pressões e velocidades iniciais e finais assim:
Queremos encontrar o aumento na pressão, ou seja,
.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos:
Primeiro, calculamos a razão das velocidades ao quadrado:
Então,
Passo 6
Finalmente, o aumento na pressão é:
Resposta
A pressão precisa ser aumentada em aproximadamente
.